Номер 14.13, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.13. Докажите, что из двух проекций наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, наклонная которой больше (рис. 14.7).

Пусть из точки A, не принадлежащей прямой l, проведены две наклонные AB и AC к этой прямой. Пусть AH — перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую l. Тогда отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую l соответственно.
По условию, одна наклонная больше другой. Пусть $AB > AC$.
Требуется доказать, что проекция большей наклонной больше проекции меньшей, то есть $HB > HC$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ΔAHB и ΔAHC. Поскольку AH — перпендикуляр к прямой l, оба этих треугольника являются прямоугольными с прямым углом при вершине H. Катет AH является общим для обоих треугольников.

Применим теорему Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников:
В ΔAHB: $AB^2 = AH^2 + HB^2$
В ΔAHC: $AC^2 = AH^2 + HC^2$

Выразим из этих равенств квадраты длин проекций HB и HC:
$HB^2 = AB^2 - AH^2$
$HC^2 = AC^2 - AH^2$

По условию задачи, наклонная AB больше наклонной AC, то есть $AB > AC$. Так как длины отрезков являются положительными числами, то и квадраты их длин будут находиться в том же соотношении: $AB^2 > AC^2$.

Теперь сравним квадраты проекций. Вычтем из обеих частей верного неравенства $AB^2 > AC^2$ одну и ту же величину $AH^2$. Знак неравенства при этом не изменится:
$AB^2 - AH^2 > AC^2 - AH^2$
Подставив в это неравенство выражения для $HB^2$ и $HC^2$, получим:
$HB^2 > HC^2$

Поскольку длины проекций HB и HC являются положительными величинами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:
$HB > HC$

Таким образом, мы доказали, что проекция большей наклонной больше проекции меньшей наклонной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что из двух проекций наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, наклонная которой больше, доказано.