Задания, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 15.1

Параллельны ли прямые $a$ и $b$ на рисунке 15.1?

Как вы думаете, какими должны быть внутренние накрест лежащие углы, чтобы прямые были параллельными?

Самостоятельно обоснуйте вывод этого следствия.

Параллельны ли прямые a и b на рисунке 15.1? Как вы думаете, какими должны быть внутренние накрест лежащие углы, чтобы прямые были параллельными?

На основе визуального представления на рисунке 15.1, прямые a и b не кажутся параллельными. Создается впечатление, что при их продлении вправо они пересекутся. Однако в геометрии выводы не следует делать только на основе внешнего вида чертежа, если не указано иное.
Для того чтобы прямые a и b были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялся один из признаков параллельности прямых. В частности, внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении этих прямых секущей c, должны быть равны.
На рисунке внутренними накрест лежащими углами являются две пары:
1. Угол 4 и угол 5 ($\angle 4$ и $\angle 5$).
2. Угол 3 и угол 6 ($\angle 3$ и $\angle 6$).
Следовательно, для параллельности прямых a и b должно выполняться условие: $\angle 4 = \angle 5$ или $\angle 3 = \angle 6$.
Ответ: На рисунке прямые не выглядят параллельными. Чтобы прямые были параллельными, внутренние накрест лежащие углы должны быть равны друг другу (например, $\angle 4 = \angle 5$).

Самостоятельно обоснуйте вывод этого следствия.

Речь идет о следствии, которое является признаком параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Приведем обоснование этого утверждения (доказательство теоремы) методом от противного.

Дано: Прямые a и b пересекаются секущей c. Внутренние накрест лежащие углы равны, например, $\angle 4 = \angle 5$.
Требуется доказать: Прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).

Доказательство:
1. Предположим обратное, то есть что прямые a и b не параллельны. По определению непараллельных прямых на плоскости, они должны пересекаться в некоторой точке M.
2. Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B. В этом случае точки A, B и M образуют треугольник $\triangle ABM$.
3. В получившемся треугольнике $\triangle ABM$ угол $\angle 4$ является внутренним углом при вершине B.
4. Угол $\angle 5$ является внешним углом этого же треугольника при вершине A.
5. По теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для $\triangle ABM$ это означает: $\angle 5 = \angle 4 + \angle AMB$.
6. Поскольку $\angle AMB$ является углом реально существующего треугольника, его градусная мера строго положительна: $\angle AMB > 0^\circ$.
7. Из этого следует, что $\angle 5 > \angle 4$.
8. Это утверждение ($\angle 5 > \angle 4$) вступает в противоречие с исходным условием задачи, согласно которому $\angle 4 = \angle 5$.
9. Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые a и b пересекаются. Значит, это предположение неверно.
10. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что прямые a и b не пересекаются, то есть они параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Обоснование проводится методом от противного. Если предположить, что прямые пересекаются, то они образуют с секущей треугольник. В этом треугольнике один из накрест лежащих углов будет внутренним, а другой — внешним. По теореме о внешнем угле, внешний угол строго больше внутреннего, что противоречит исходному условию об их равенстве. Следовательно, предположение неверно, и прямые параллельны.