Вопросы, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 15. Параллельность прямых. Глава 3. Взаимное расположение прямых - страница 85.

Условие.

1. Какая прямая называется секущей для двух данных прямых?

2. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.

3. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

4. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку плоскости?

Решение.

Решение 2.

1. Какая прямая называется секущей для двух данных прямых?

Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым, если она пересекает эти прямые в двух различных точках.

На рисунке ниже прямая c является секущей для прямых a и b, так как она пересекает прямую a в одной точке и прямую b в другой точке.

Ответ: Секущей для двух данных прямых называется прямая, которая пересекает эти две прямые в двух разных точках.

2. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.

Признаки параллельности двух прямых — это утверждения, которые позволяют сделать вывод о параллельности двух прямых на основе углов, образованных при их пересечении третьей прямой (секущей). Пусть прямые a и b пересечены секущей c. При этом образуется 8 углов, которые имеют специальные названия.

Существует три основных признака параллельности:

1. По накрест лежащим углам: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Накрест лежащие углы — это пары $\angle 3$ и $\angle 5$; $\angle 4$ и $\angle 6$. Таким образом, если $\angle 3 = \angle 5$ или $\angle 4 = \angle 6$, то $a \parallel b$.

2. По соответственным углам: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Соответственные углы — это пары $\angle 1$ и $\angle 5$; $\angle 2$ и $\angle 6$; $\angle 4$ и $\angle 8$; $\angle 3$ и $\angle 7$. Таким образом, если, например, $\angle 1 = \angle 5$, то $a \parallel b$.

3. По односторонним углам: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Односторонние углы — это пары $\angle 4$ и $\angle 5$; $\angle 3$ и $\angle 6$. Таким образом, если $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ или $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$, то $a \parallel b$.

Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей: 1) накрест лежащие углы равны, или 2) соответственные углы равны, или 3) сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны.

3. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (также известная как пятый постулат Евклида в одной из его формулировок) является одним из фундаментальных положений евклидовой геометрии. Она формулируется следующим образом:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке показана прямая a и точка M, не принадлежащая этой прямой. Согласно аксиоме, существует единственная прямая b, которая проходит через точку M и параллельна прямой a (т.е. не пересекает ее).

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

4. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку плоскости?

Ответ на этот вопрос зависит от расположения точки относительно данной прямой. Рассмотрим два случая:

1. Точка не лежит на данной прямой. В этом случае, согласно аксиоме параллельных прямых, через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.

2. Точка лежит на данной прямой. В этом случае через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек. Любая другая прямая, проведенная через точку на исходной прямой, будет пересекать исходную прямую в этой точке, а значит, не будет ей параллельна. Иногда в математике считают, что прямая параллельна самой себе, но в стандартном школьном курсе геометрии параллельные прямые — это различные прямые, не имеющие общих точек.

Таким образом, вопрос чаще всего подразумевает первый случай.

Ответ: Если точка не лежит на данной прямой, то через нее можно провести одну прямую, параллельную данной. Если точка лежит на данной прямой, то нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (если не считать саму прямую).