Номер 14.12, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.12. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше (рис. 14.7).

Дано:

Пусть из точки A, не лежащей на прямой a, к этой прямой проведены две наклонные AB и AC. Пусть AH — перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a. Тогда отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую a соответственно.

Согласно условию, проекция одной наклонной больше проекции другой. Пусть $HC > HB$.

Доказать:

Наклонная AC больше наклонной AB, то есть $AC > AB$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAHB и ΔAHC. Они прямоугольные, так как AH — перпендикуляр к прямой a, следовательно, $∠AHB = ∠AHC = 90°$.

Воспользуемся теоремой Пифагора для каждого из этих треугольников. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В треугольнике ΔAHB катетами являются AH и HB, а гипотенузой — наклонная AB. Получаем: $AB^2 = AH^2 + HB^2$

В треугольнике ΔAHC катетами являются AH и HC, а гипотенузой — наклонная AC. Получаем: $AC^2 = AH^2 + HC^2$

Из условия нам известно, что $HC > HB$. Так как длины отрезков — положительные числа, то и их квадраты будут находиться в том же соотношении: $HC^2 > HB^2$.

Сравним выражения для квадратов наклонных. Так как $HC^2 > HB^2$, то, прибавив к обеим частям этого неравенства одно и то же положительное число $AH^2$, мы не изменим знак неравенства: $AH^2 + HC^2 > AH^2 + HB^2$

Подставив в это неравенство выражения для $AB^2$ и $AC^2$, получим: $AC^2 > AB^2$

Поскольку длины наклонных AC и AB являются положительными величинами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин: $AC > AB$

Таким образом, мы доказали, что наклонная, имеющая большую проекцию, сама является большей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше.