Номер 14.6, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.6. Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника со стороной 1 на прямую, содержащую другую его сторону?

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной 1. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Нам нужно найти проекцию одной стороны, например $AC$, на прямую, содержащую другую сторону, например $AB$.

Проекцией отрезка $AC$ на прямую, содержащую сторону $AB$, является отрезок $AH$, где $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $AHC$ нам известны:
- Гипотенуза $AC$, длина которой равна стороне равностороннего треугольника, то есть $AC = 1$.
- Угол $\angle CAH$, который является углом при основании равностороннего треугольника, то есть $\angle CAH = 60^\circ$.

Длину проекции $AH$, которая является катетом, прилежащим к углу $\angle CAH$, можно найти по определению косинуса:

$ \cos(\angle CAH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} $

Выразим отсюда длину катета $AH$:

$ AH = AC \cdot \cos(\angle CAH) $

Подставим известные значения: $AC = 1$ и $\angle CAH = 60^\circ$.

$ AH = 1 \cdot \cos(60^\circ) $

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$ AH = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Таким образом, длина проекции одной стороны равностороннего треугольника на прямую, содержащую другую его сторону, равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.