Номер 14.1, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую?

Чтобы развернуто ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть два возможных случая расположения данной точки относительно данной прямой.

Случай 1: Точка не лежит на прямой.

Это классический случай, который чаще всего и подразумевается в такой формулировке вопроса. Согласно фундаментальной теореме планиметрии (евклидовой геометрии на плоскости), из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

На рисунке показана прямая $a$ и точка $P$ вне её. Отрезок $PH$ — это и есть тот самый единственный перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на прямую $a$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка представляет собой кратчайшее расстояние от точки $P$ до прямой $a$.

Единственность перпендикуляра легко доказать методом от противного. Допустим, что из точки $P$ можно опустить на прямую $a$ два различных перпендикуляра, $PH_1$ и $PH_2$. В таком случае мы получим треугольник $\triangle PH_1H_2$, в котором два угла, $\angle PH_1H_2$ и $\angle PH_2H_1$, будут прямыми, то есть $\angle PH_1H_2 = 90^\circ$ и $\angle PH_2H_1 = 90^\circ$. Их сумма составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Но так как сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$, это означало бы, что третий угол $\angle H_1PH_2$ равен $0^\circ$. Это противоречит предположению о том, что $PH_1$ и $PH_2$ — разные отрезки. Следовательно, наше допущение неверно, и перпендикуляр может быть только один.

Случай 2: Точка лежит на прямой.

Если данная точка $P$ лежит на прямой $a$, то расстояние от точки до прямой равно нулю. Глагол "опустить" обычно подразумевает построение отрезка, длина которого равна расстоянию от точки до объекта. В данном случае перпендикуляр "вырождается" в точку, а его длина равна нулю. Поэтому в строгом смысле "опустить" перпендикуляр нельзя.

Однако, если переформулировать вопрос как "Сколько перпендикулярных прямых можно провести через точку, лежащую на данной прямой?", то ответ будет иным. В условиях планиметрии через точку $P$ на прямой $a$ можно провести ровно одну прямую $b$, перпендикулярную $a$. В трехмерном пространстве таких прямых будет бесконечно много (они образуют целую плоскость, перпендикулярную прямой $a$).

Таким образом, учитывая стандартную постановку вопроса в курсе геометрии и использование термина "опустить перпендикуляр", имеется в виду первый случай (точка вне прямой) и геометрия на плоскости.

Ответ: Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.