Страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую?

Чтобы развернуто ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть два возможных случая расположения данной точки относительно данной прямой.

Случай 1: Точка не лежит на прямой.

Это классический случай, который чаще всего и подразумевается в такой формулировке вопроса. Согласно фундаментальной теореме планиметрии (евклидовой геометрии на плоскости), из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

На рисунке показана прямая $a$ и точка $P$ вне её. Отрезок $PH$ — это и есть тот самый единственный перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на прямую $a$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка представляет собой кратчайшее расстояние от точки $P$ до прямой $a$.

Единственность перпендикуляра легко доказать методом от противного. Допустим, что из точки $P$ можно опустить на прямую $a$ два различных перпендикуляра, $PH_1$ и $PH_2$. В таком случае мы получим треугольник $\triangle PH_1H_2$, в котором два угла, $\angle PH_1H_2$ и $\angle PH_2H_1$, будут прямыми, то есть $\angle PH_1H_2 = 90^\circ$ и $\angle PH_2H_1 = 90^\circ$. Их сумма составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Но так как сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$, это означало бы, что третий угол $\angle H_1PH_2$ равен $0^\circ$. Это противоречит предположению о том, что $PH_1$ и $PH_2$ — разные отрезки. Следовательно, наше допущение неверно, и перпендикуляр может быть только один.

Случай 2: Точка лежит на прямой.

Если данная точка $P$ лежит на прямой $a$, то расстояние от точки до прямой равно нулю. Глагол "опустить" обычно подразумевает построение отрезка, длина которого равна расстоянию от точки до объекта. В данном случае перпендикуляр "вырождается" в точку, а его длина равна нулю. Поэтому в строгом смысле "опустить" перпендикуляр нельзя.

Однако, если переформулировать вопрос как "Сколько перпендикулярных прямых можно провести через точку, лежащую на данной прямой?", то ответ будет иным. В условиях планиметрии через точку $P$ на прямой $a$ можно провести ровно одну прямую $b$, перпендикулярную $a$. В трехмерном пространстве таких прямых будет бесконечно много (они образуют целую плоскость, перпендикулярную прямой $a$).

Таким образом, учитывая стандартную постановку вопроса в курсе геометрии и использование термина "опустить перпендикуляр", имеется в виду первый случай (точка вне прямой) и геометрия на плоскости.

Ответ: Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

14.2. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной прямой?

Количество наклонных заданной длины, которые можно провести из данной точки к данной прямой, зависит от соотношения между этой длиной и расстоянием от точки до прямой.

Пусть `A` — данная точка, `l` — данная прямая, `d` — заданная длина наклонной.

Случай 1: Точка `A` не лежит на прямой `l`.

Опустим из точки `A` на прямую `l` перпендикуляр `АН`. Длина этого перпендикуляра `h = AH` является расстоянием от точки `А` до прямой `l`. Любая наклонная `AB`, проведенная из точки `А` к прямой `l`, образует с перпендикуляром `АН` и своей проекцией `НВ` прямоугольный треугольник `AHB`, где `AB` — гипотенуза, а `AH` и `HB` — катеты.

По теореме Пифагора, $d^2 = h^2 + p^2$, где `p` — длина проекции `HB`. Отсюда $p^2 = d^2 - h^2$. Проанализируем возможные варианты:

а) Если заданная длина меньше расстояния до прямой ($d < h$).
В этом случае $d^2 < h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет отрицательным. Длина проекции `p` не может быть найдена, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что провести наклонную короче перпендикуляра невозможно. Таким образом, количество таких наклонных равно нулю.

б) Если заданная длина равна расстоянию до прямой ($d = h$).
В этом случае $p^2 = h^2 - h^2 = 0$, следовательно, $p = 0$. Это означает, что основание наклонной совпадает с основанием перпендикуляра. То есть, искомый отрезок — это сам перпендикуляр. По определению, наклонная — это отрезок, не являющийся перпендикуляром. Следовательно, количество наклонных равно нулю.

в) Если заданная длина больше расстояния до прямой ($d > h$).
В этом случае $d^2 > h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет положительным. Длина проекции $p = \sqrt{d^2 - h^2}$ является определенным положительным числом. На прямой `l` существуют ровно две точки (`B₁` и `B₂`), расположенные на расстоянии `p` от основания перпендикуляра `H` (по обе стороны от него). Следовательно, из точки `А` можно провести ровно две наклонные (`AB₁` и `AB₂`) заданной длины `d`.

Случай 2: Точка `A` лежит на прямой `l`.

В этом случае расстояние от точки до прямой равно нулю ($h = 0$). Понятия перпендикуляра и наклонной в классическом смысле теряют значение. Однако, если рассматривать отрезки заданной длины `d`, исходящие из точки `А` и заканчивающиеся на прямой `l`, то таких отрезков будет два. Они будут лежать на самой прямой `l`, по обе стороны от точки `А`.

Ответ: Ответ зависит от соотношения заданной длины наклонной `d` и расстояния `h` от точки до прямой. Если точка не лежит на прямой:
• две наклонные, если заданная длина больше расстояния от точки до прямой ($d > h$);
• ни одной наклонной, если заданная длина меньше или равна расстоянию от точки до прямой ($d \le h$).

14.3. Может ли медиана треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Да, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Для доказательства рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и проведем из вершины $B$ медиану $BM$ к стороне $AC$ и высоту $BH$ к той же стороне $AC$.

По определению, высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Следовательно, угол $\angle BHC$ является прямым, то есть $\angle BHC = 90^\circ$.

Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с точкой $M$, которая является серединой стороны $AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BHM$. Так как $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, на которой лежат точки $H$ и $M$, то угол $\angle BHM$ также является прямым. Это означает, что треугольник $BHM$ — прямоугольный, где $BH$ и $HM$ являются катетами, а $BM$ — гипотенузой.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она больше или равна любому из катетов. Следовательно, $BM \ge BH$.

Знак равенства, $BM = BH$, возможен только в том случае, когда длина второго катета $HM$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ (основание высоты) и $M$ (середина стороны) совпадают. Такое происходит, если треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ (т.е. $AB=BC$), и высота, проведенная из вершины $B$, также является медианой.

В любом другом случае (например, в разностороннем треугольнике), точки $H$ и $M$ не совпадают, и длина отрезка $HM$ будет положительной ($HM > 0$). По теореме Пифагора для треугольника $BHM$ имеем: $BM^2 = BH^2 + HM^2$. Так как $HM^2 > 0$, то $BM^2 > BH^2$, и, следовательно, $BM > BH$.

Таким образом, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Да, может.

14.4. Может ли биссектриса треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Да, биссектриса треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Более того, за исключением одного частного случая, биссектриса всегда больше высоты.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ и биссектрису $BL$.

По определению, высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$ (или ее продолжению). Таким образом, угол $\angle BHC$ является прямым, и треугольник $BHL$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $BHL$ сторона $BL$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла $\angle BHL$), а высота $BH$ — одним из катетов. В любом невырожденном прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов. Следовательно, $BL > BH$.

Равенство $BL = BH$ возможно только в том случае, если треугольник $BHL$ является вырожденным, то есть когда длина второго катета $HL$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $L$ совпадают. Такое происходит, когда биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, являются одним и тем же отрезком. Это свойство выполняется для биссектрисы угла при вершине в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию (в нашем случае, если $AB = BC$).

Таким образом, во всех треугольниках, кроме равнобедренных (где биссектриса и высота проведены из вершины, противолежащей основанию), биссектриса будет строго больше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Да, может.

14.5. На клетчатой бумаге изобразите точки и прямые, как показано на рисунке 14.5. Из точки $C$ опустите перпендикуляр $CD$ на прямую $AB$.

а)

б)

в)

Рис. 14.5

а) Чтобы опустить перпендикуляр из точки C на прямую AB, сначала определим наклон (угловой коэффициент) прямой AB, используя клетки на чертеже. При движении от точки A к точке B мы смещаемся на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Следовательно, угловой коэффициент прямой AB равен $m_{AB} = \frac{\text{изменение по y}}{\text{изменение по x}} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Прямая CD, перпендикулярная прямой AB, должна иметь угловой коэффициент $m_{CD}$, который является отрицательным обратным к $m_{AB}$. Это означает, что $m_{CD} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.

Угловой коэффициент $m_{CD} = \frac{3}{2}$ означает, что при смещении на 2 клетки вправо прямая поднимается на 3 клетки вверх (или при смещении на 2 клетки влево опускается на 3 клетки вниз). Проведем через точку C прямую с таким наклоном. Точка пересечения этой прямой с прямой AB и будет искомой точкой D. Отрезок CD является перпендикуляром, опущенным из точки C на прямую AB.

Ответ:

б) Аналогично первому случаю, найдем угловой коэффициент прямой AB. От точки A до точки B мы смещаемся на 4 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Таким образом, угловой коэффициент прямой AB равен $m_{AB} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой CD будет $m_{CD} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.

Это значит, что прямая CD на каждую 1 клетку смещения вправо поднимается на 4 клетки вверх. Проведем через точку C прямую с наклоном 4. Точка ее пересечения с прямой AB будет точкой D. Отрезок CD — искомый перпендикуляр.

Ответ:

в) Определим угловой коэффициент прямой AB. При движении от точки A к точке B мы смещаемся на 1 клетку вправо и на 3 клетки вниз. Значит, угловой коэффициент прямой AB равен $m_{AB} = \frac{-3}{1} = -3$.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой CD равен $m_{CD} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Наклон $m_{CD} = \frac{1}{3}$ означает, что прямая на каждые 3 клетки смещения вправо поднимается на 1 клетку вверх (или на 3 клетки влево опускается на 1 клетку вниз). Проведем через точку C прямую с таким наклоном и найдем ее точку пересечения D с прямой AB. Отрезок CD будет перпендикуляром.

Ответ:

14.6. Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника со стороной 1 на прямую, содержащую другую его сторону?

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, равной 1. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Нам нужно найти проекцию одной стороны, например $AC$, на прямую, содержащую другую сторону, например $AB$.

Проекцией отрезка $AC$ на прямую, содержащую сторону $AB$, является отрезок $AH$, где $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $AHC$ нам известны:
- Гипотенуза $AC$, длина которой равна стороне равностороннего треугольника, то есть $AC = 1$.
- Угол $\angle CAH$, который является углом при основании равностороннего треугольника, то есть $\angle CAH = 60^\circ$.

Длину проекции $AH$, которая является катетом, прилежащим к углу $\angle CAH$, можно найти по определению косинуса:

$ \cos(\angle CAH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} $

Выразим отсюда длину катета $AH$:

$ AH = AC \cdot \cos(\angle CAH) $

Подставим известные значения: $AC = 1$ и $\angle CAH = 60^\circ$.

$ AH = 1 \cdot \cos(60^\circ) $

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$ AH = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Таким образом, длина проекции одной стороны равностороннего треугольника на прямую, содержащую другую его сторону, равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

14.7. Стороны равнобедренного треугольника равны 6, 8, 8. Чему равна проекция боковой стороны этого треугольника на прямую, содержащую основание?

В равнобедренном треугольнике две равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. Согласно условию, стороны треугольника равны 6, 8 и 8. Следовательно, боковые стороны равны 8, а основание равно 6.

Обозначим данный равнобедренный треугольник как $ABC$, где боковые стороны $AB = AC = 8$, а основание $BC = 6$.

Проекцией боковой стороны (например, $AC$) на прямую, содержащую основание $BC$, является отрезок $HC$. Здесь $H$ — это основание высоты, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$.

Ключевым свойством равнобедренного треугольника является то, что высота, проведенная к основанию, одновременно является и медианой. Это означает, что высота $AH$ делит основание $BC$ на два равных отрезка: $BH = HC$.

Таким образом, длина проекции боковой стороны на прямую, содержащую основание, равна половине длины основания.

Вычислим длину проекции $HC$:

$HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3.

14.8. Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4, 5. Чему равна проекция гипотенузы на прямую, содержащую больший катет?

Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой, а две другие — катетами. Следовательно, гипотенуза равна 5, а катеты равны 3 и 4. Больший катет имеет длину 4.

Требуется найти проекцию гипотенузы на прямую, содержащую больший катет.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $AC$ — это больший катет, тогда его длина $AC = 4$. Меньший катет $BC$ имеет длину $BC = 3$, а гипотенуза $AB$ имеет длину $AB = 5$.

Проекция отрезка на прямую — это отрезок, соединяющий проекции его концов на эту прямую. Нам нужно найти проекцию гипотенузы $AB$ на прямую, содержащую катет $AC$.

1. Проекция точки $A$ на прямую $AC$: поскольку точка $A$ уже лежит на этой прямой, ее проекция совпадает с самой точкой $A$.

2. Проекция точки $B$ на прямую $AC$: по определению, это основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$. Следовательно, проекцией точки $B$ на прямую $AC$ является точка $C$.

Таким образом, проекцией гипотенузы $AB$ на прямую, содержащую больший катет $AC$, является сам катет $AC$. Длина этой проекции равна длине катета $AC$, то есть 4.

Ответ: 4

14.9. Из точки A к прямой $b$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонные $AB_1$, $AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если:

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$;

б) $B$ лежит между $B_1$, $B_2$ и $BB_1 < BB_2$?

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикуляром, наклонными и их проекциями: $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABB_2$. В этих треугольниках катет $AB$ является общим. Наклонные $AB_1$ и $AB_2$ являются гипотенузами. Длины проекций наклонных $AB_1$ и $AB_2$ на прямую $b$ — это отрезки $BB_1$ и $BB_2$ соответственно.

По теореме Пифагора для этих треугольников можно записать:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$

Из этих равенств видно, что длина наклонной зависит от длины ее проекции. Поскольку длина перпендикуляра $AB$ постоянна, чем больше длина проекции, тем больше длина наклонной. Следовательно, чтобы сравнить длины наклонных $AB_1$ и $AB_2$, достаточно сравнить длины их проекций $BB_1$ и $BB_2$. Наклонная с меньшей проекцией будет короче.

В этом случае точки на прямой $b$ расположены в следующем порядке: $B$, $B_1$, $B_2$.

Из такого расположения точек следует, что отрезок $BB_1$ является частью отрезка $BB_2$. Это означает, что длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$.

$BB_1 < BB_2$

Поскольку проекция $BB_1$ меньше проекции $BB_2$, то и соответствующая наклонная $AB_1$ будет меньше наклонной $AB_2$.

$BB_1 < BB_2 \implies BB_1^2 < BB_2^2 \implies AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2 \implies AB_1^2 < AB_2^2 \implies AB_1 < AB_2$

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

В этом случае точка $B$ (основание перпендикуляра) находится между точками $B_1$ и $B_2$ (основаниями наклонных).

Условие $BB_1 < BB_2$ напрямую сравнивает длины проекций. Нам не нужно выводить это соотношение из расположения точек, оно дано.

Так как длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$, то, по ранее установленному свойству, наклонная $AB_1$ короче наклонной $AB_2$.

$BB_1 < BB_2 \implies AB_1 < AB_2$

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

14.10. Докажите, что две равные наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции (рис. 14.6).

Дано:
Точка $A$ не лежит на прямой $a$.
$AB$ и $AC$ — две равные наклонные, проведенные из точки $A$ к прямой $a$, то есть $AB = AC$.
$AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $a$.
$HB$ и $HC$ — проекции наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $a$ соответственно.

Доказать:
$HB = HC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к прямой $a$, то $\angle AHB$ и $\angle AHC$ являются прямыми, то есть $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$. Следовательно, оба треугольника являются прямоугольными.

Сравним эти прямоугольные треугольники:
1. Гипотенузы $AB$ и $AC$ равны по условию ($AB = AC$).
2. Катет $AH$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников ($\triangle AHB = \triangle AHC$) следует равенство их соответственных сторон, а именно катетов: $HB = HC$.

Поскольку отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$, мы доказали, что проекции равных наклонных равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две равные наклонные, проведенные из одной точки к прямой, имеют равные проекции.