Страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 13.6).

а)

б)

Рис. 13.6

а) Чтобы треугольник $ABC$ был прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, его катеты $AC$ и $BC$ должны быть перпендикулярны. На клетчатой бумаге этого можно достичь, расположив катеты параллельно линиям сетки: один горизонтально, другой вертикально. Вершина $C$ будет находиться в точке пересечения горизонтальной прямой, проходящей через одну из данных вершин ($A$ или $B$), и вертикальной прямой, проходящей через другую вершину.

Существует два таких узла сетки. Например, можно провести горизонтальную линию через точку $A$ и вертикальную линию через точку $B$. Точка их пересечения $C$ и будет вершиной прямого угла. В этом случае катеты $AC$ и $BC$ будут иметь длины, равные смещениям по горизонтали и вертикали между точками $A$ и $B$. Из рисунка видно, что смещение составляет 3 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали. Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, что подтверждает, что угол $C$ прямой.

Один из возможных вариантов построения показан на рисунке ниже.

Ответ: На рисунке выше показан один из двух возможных прямоугольных треугольников $ABC$. Вторая возможная вершина $C$ находится в узле, симметричном построенному относительно середины отрезка $AB$.

б) В этом случае гипотенуза $AB$ расположена горизонтально. Катеты $AC$ и $BC$ не могут быть одновременно параллельны линиям сетки, так как в этом случае вершина $C$ совпала бы с $A$ или $B$. Воспользуемся свойством, что вершина прямого угла вписанного треугольника лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре.

Длина отрезка $AB$ равна 4 клеткам. Следовательно, диаметр окружности, на которой лежит точка $C$, равен 4, а ее радиус $R=2$. Центр этой окружности, точка $M$, является серединой отрезка $AB$. Нам нужно найти узел сетки $C$, расстояние от которого до точки $M$ равно 2 клеткам. Если $dx$ и $dy$ — смещения по горизонтали и вертикали в клетках от $M$ до $C$, то по теореме Пифагора должно выполняться $dx^2 + dy^2 = R^2 = 2^2 = 4$.

Целочисленными решениями этого уравнения являются пары $(dx, dy)$: $(0, 2)$, $(0, -2)$, $(2, 0)$ и $(-2, 0)$. Смещения на $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ от точки $M$ приводят нас в точки $B$ и $A$. Смещения на $(0, 2)$ и $(0, -2)$ приводят в два узла сетки, которые могут быть вершиной $C$. Выберем точку $C$, расположенную над гипотенузой $AB$.

Один из возможных вариантов построения показан на рисунке ниже.

Ответ: На рисунке выше показан один из двух возможных прямоугольных треугольников $ABC$. Вторая возможная вершина $C$ находится в узле под отрезком $AB$, симметрично построенной вершине относительно гипотенузы.

13.3. На рисунке 13.7 укажите равные прямоугольные треугольники.

Рис. 13.7

Для того чтобы найти равные прямоугольные треугольники на рисунке, необходимо сначала определить, какие из треугольников являются прямоугольными, а затем сравнить их по признакам равенства. Два прямоугольных треугольника равны, если их катеты соответственно равны.

Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины.

Анализ треугольников

Проанализируем каждый треугольник, чтобы определить его тип и размеры сторон.

Треугольник 1: Является прямоугольным, так как его катеты лежат на линиях сетки. Длины катетов равны 2 и 2.

Треугольник 2: Является прямоугольным. Длины катетов равны 1 и 1.

Треугольник 3: Является прямоугольным. Длины катетов равны 1 и 2.

Треугольник 4: Является прямоугольным. Длины катетов равны 2 и 2.

Треугольник 5: Является прямоугольным. Длины катетов равны 2 и 3.

Треугольник 6: Чтобы определить, является ли он прямоугольным, воспользуемся теоремой Пифагора. Найдем квадраты длин его сторон. Стороны этого треугольника можно рассматривать как гипотенузы прямоугольных треугольников, построенных на сетке.
- Квадрат длины первой стороны: $a^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
- Квадрат длины второй стороны: $b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
- Квадрат длины третьей стороны: $c^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
Проверяем условие $a^2 + b^2 = c^2$: $5 + 5 = 10$. Равенство выполняется, следовательно, треугольник 6 — прямоугольный. Длины его катетов равны $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$.

Треугольник 7: Проверим его также с помощью теоремы Пифагора.
- Квадрат длины первой стороны: $a^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
- Квадрат длины второй стороны: $b^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.
- Квадрат длины третьей стороны: $c^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$.
Проверяем возможное равенство: $a^2 + b^2 = 2 + 5 = 7 \neq 9$. Треугольник 7 не является прямоугольным.

Сравнение прямоугольных треугольников

Теперь сравним катеты всех идентифицированных прямоугольных треугольников (1, 2, 3, 4, 5, 6):
- Треугольник 1: катеты 2 и 2.
- Треугольник 2: катеты 1 и 1.
- Треугольник 3: катеты 1 и 2.
- Треугольник 4: катеты 2 и 2.
- Треугольник 5: катеты 2 и 3.
- Треугольник 6: катеты $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$.
Сравнивая наборы длин катетов, мы видим, что только у треугольников 1 и 4 они полностью совпадают. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам.

Ответ: Равными прямоугольными треугольниками являются треугольники 1 и 4.

13.4. Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним?

а) Да, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Один из его углов по определению равен $90°$. Сумма двух других острых углов равна $180° - 90° = 90°$.
В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В прямоугольном треугольнике гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) всегда длиннее каждого из катетов. Следовательно, равными могут быть только катеты.
Если катеты равны, то и углы, лежащие против них, тоже равны. Пусть каждый из этих углов равен $\alpha$. Тогда их сумма составляет:
$\alpha + \alpha = 90°$
$2\alpha = 90°$
$\alpha = 45°$
Таким образом, существует прямоугольный равнобедренный треугольник, углы которого равны $90°$, $45°$ и $45°$. Его катеты равны, а гипотенуза, согласно теореме Пифагора, будет в $\sqrt{2}$ раз больше катета ($c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$).



Ответ: Да, может.

б) Нет, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.
Это можно доказать двумя способами.

1. Через углы:
В равностороннем треугольнике все три угла равны. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$, каждый угол равностороннего треугольника равен $180° / 3 = 60°$.
В прямоугольном треугольнике один из углов по определению равен $90°$.
Поскольку у равностороннего треугольника все углы равны $60°$, у него не может быть угла в $90°$. Следовательно, треугольник не может быть одновременно и прямоугольным, и равносторонним.

2. Через стороны:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной.
В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Эти два свойства противоречат друг другу. Не может в треугольнике одна сторона быть длиннее других и одновременно все стороны быть равными.
Если предположить, что такой треугольник существует и длина его стороны равна a, то по теореме Пифагора для катетов a и гипотенузы a должно было бы выполняться равенство: $a^2 + a^2 = a^2$, что приводит к $2a^2 = a^2$. Это равенство верно только при $a=0$, но треугольника со сторонами нулевой длины не существует.

Ответ: Нет, не может.

13.5. Может ли прямоугольный треугольник иметь стороны 4 см, 5 см, 5 см?

Для того чтобы треугольник был прямоугольным, его стороны должны удовлетворять теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что квадрат длины гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов длин катетов (двух других сторон). Математически это записывается как $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

В рассматриваемом треугольнике даны стороны: 4 см, 5 см и 5 см.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. В данном случае самая длинная сторона равна 5 см. Следовательно, если бы этот треугольник был прямоугольным, его гипотенуза $c$ должна была бы равняться 5 см. Тогда две другие стороны были бы катетами: $a = 4$ см и $b = 5$ см.

Проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора. Подставим значения в формулу:

$a^2 + b^2 = c^2$

$4^2 + 5^2 = 5^2$

Выполним вычисления:

$16 + 25 = 25$

$41 = 25$

Полученное равенство $41 = 25$ является ложным. Так как сумма квадратов двух сторон не равна квадрату третьей (самой длинной) стороны, то данный треугольник не является прямоугольным.

Ответ: нет, прямоугольный треугольник не может иметь такие стороны.

13.6. Может ли прямоугольный треугольник иметь катеты 11 см и 111 см?

Для того чтобы определить, может ли существовать прямоугольный треугольник с заданными катетами, воспользуемся теоремой Пифагора. Эта теорема устанавливает связь между сторонами прямоугольного треугольника. Она гласит, что сумма квадратов длин катетов (сторон, образующих прямой угол) равна квадрату длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла).

Обозначим длины катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$. Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство:$a^2 + b^2 = c^2$

В условии задачи даны длины катетов:$a = 11$ см$b = 111$ см

Подставим эти значения в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти квадрат длины гипотенузы $c^2$:$c^2 = 11^2 + 111^2$

Вычислим квадраты длин катетов:$11^2 = 121$$111^2 = 12321$

Теперь найдем сумму этих значений:$c^2 = 121 + 12321 = 12442$

Длина гипотенузы $c$ будет равна квадратному корню из полученного числа:$c = \sqrt{12442}$ см

Так как мы получили для длины гипотенузы положительное действительное число ($c = \sqrt{12442} > 0$), это означает, что такой отрезок существует. Следовательно, прямоугольный треугольник с катетами 11 см и 111 см может быть построен. Длины сторон треугольника не обязательно должны быть целыми или рациональными числами; иррациональные длины вполне допустимы в геометрии.

Ответ: Да, может.