Страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно $\angle BCD > \angle BAC$ по аналогии доказательства $\angle BCD > \angle ABC$.

Для доказательства неравенства $ \angle BCD > \angle BAC $, где $ \angle BCD $ — внешний угол треугольника $ \Delta ABC $ при вершине $ C $, воспользуемся методом, аналогичным доказательству неравенства $ \angle BCD > \angle ABC $. Доказательство будет основано на построении вспомогательных конгруэнтных треугольников.

Рассмотрим треугольник $ \Delta ABC $. Продлим сторону $ AC $ за точку $ C $ и отметим на продолжении точку $ D $. Угол $ \angle BCD $ является внешним углом треугольника $ \Delta ABC $.

Доказательство:

1. Продлим сторону $ BC $ за точку $ C $ и отметим на продолжении точку $ G $. Угол $ \angle ACG $ является смежным с углом $ \angle ACB $ и вертикальным с углом $ \angle BCD $. Следовательно, $ \angle ACG = \angle BCD $.

2. Найдем середину стороны $ AC $ и обозначим ее точкой $ N $.

3. Проведем отрезок $ BN $ (медиану треугольника $ \Delta ABC $) и продлим его за точку $ N $ на его длину, так что $ BN = NF $. Соединим точки $ F $ и $ C $.

4. Рассмотрим треугольники $ \Delta ABN $ и $ \Delta CFN $. В этих треугольниках:

- $ AN = CN $ (по построению, так как $ N $ — середина $ AC $).

- $ BN = FN $ (по построению).

- $ \angle ANB = \angle CNF $ (как вертикальные углы).

5. Следовательно, $ \Delta ABN \cong \Delta CFN $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $ \angle BAN = \angle FCN $. Угол $ \angle BAN $ — это то же самое, что и угол $ \angle BAC $, а угол $ \angle FCN $ — то же самое, что и угол $ \angle ACF $. Таким образом, $ \angle BAC = \angle ACF $.

7. Луч $ CF $ проходит между лучами $ CA $ и $ CG $, то есть внутри угла $ \angle ACG $. Это следует из того, что точка $ F $ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $ CG $ (прямой $ BC $), что и точка $ A $, и в той же полуплоскости относительно прямой $ AC $, что и точка $ G $.

8. Так как луч $ CF $ делит угол $ \angle ACG $ на два угла, то $ \angle ACG = \angle ACF + \angle FCG $.

9. Поскольку $ \angle FCG $ — это угол, являющийся частью треугольника (или, в общем случае, положительная величина, если точки $ F, C, G $ не лежат на одной прямой), его мера больше нуля: $ \angle FCG > 0 $.

10. Из равенства $ \angle ACG = \angle ACF + \angle FCG $ следует, что $ \angle ACG > \angle ACF $.

11. Заменяя в этом неравенстве угол $ \angle ACF $ на равный ему угол $ \angle BAC $ (из пункта 6), получаем $ \angle ACG > \angle BAC $.

12. Наконец, поскольку углы $ \angle ACG $ и $ \angle BCD $ являются вертикальными (из пункта 1), они равны: $ \angle ACG = \angle BCD $.

13. Подставляя $ \angle BCD $ вместо $ \angle ACG $ в неравенство из пункта 11, получаем итоговый результат: $ \angle BCD > \angle BAC $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство неравенства $ \angle BCD > \angle BAC $ приведено выше.