Страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.15. На местности потребовалось разделить угол пополам (угол $ABC$ на рис. 11.17). Для этого на его сторонах от вершины с помощью рулетки отложили равные отрезки $BA$ и $BC$. Затем взяли ленту с обозначенной серединой (точкой $O$) и закрепили ее концы в точках $A$ и $C$. Натянув ленту за середину, отметили положение точки $O$ на местности, тогда луч $BO$ делит угол $ABC$ пополам. Обоснуйте правильность построения.

Рис. 11.17

Для обоснования правильности построения рассмотрим треугольники $ABO$ и $CBO$.

Согласно описанию построения, на сторонах угла $ABC$ от его вершины $B$ отложены равные отрезки $BA$ и $BC$. Следовательно, мы имеем равенство сторон: $BA = BC$.

Далее, была взята лента, концы которой закрепили в точках $A$ и $C$. Точка $O$ — это обозначенная середина этой ленты. Когда ленту натянули за точку $O$, образовались два отрезка $AO$ и $CO$. Так как $O$ — середина ленты, то длины этих отрезков равны: $AO = CO$.

Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников: $ABO$ и $CBO$.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон в треугольниках $ABO$ и $CBO$:
1. $BA = BC$ (по построению).
2. $AO = CO$ (так как $O$ — середина ленты $AC$).
3. $BO$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $ABO$ и $CBO$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ABO$ в треугольнике $ABO$ и угол $CBO$ в треугольнике $CBO$ являются соответственными, поэтому $\angle ABO = \angle CBO$.

По определению, луч, делящий угол на два равных угла, является его биссектрисой. Значит, луч $BO$ — биссектриса угла $ABC$. Построение выполнено правильно.

Ответ: Правильность построения основывается на равенстве треугольников $ABO$ и $CBO$ по третьему признаку (по трём сторонам). Равенство сторон следует из условий построения: $BA = BC$ (отложены равные отрезки), $AO = CO$ (точка $O$ — середина ленты, натянутой между точками $A$ и $C$), а сторона $BO$ — общая. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов $\angle ABO = \angle CBO$, что доказывает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.

11.16. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$ (рис. 11.18), то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Рис. 11.18

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно условию задачи, у этих треугольников равны две соответствующие стороны и медианы, проведенные из вершины между этими сторонами: $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$ и $CM = C_1M_1$. Требуется доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства равенства треугольников используем метод дополнительного построения. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $A$. Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них ($AM = MB$ по определению медианы, $CM = MD$ по построению). Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $AD = BC$. Аналогично, для $\triangle A_1B_1C_1$ построим параллелограмм $A_1C_1B_1D_1$, продлив медиану $C_1M_1$ до точки $D_1$. В этом параллелограмме $A_1D_1 = B_1C_1$.

Теперь сравним $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$. В них:
1. $AC = A_1C_1$ (по условию).
2. $CD = 2 \cdot CM$ и $C_1D_1 = 2 \cdot C_1M_1$. Так как $CM=C_1M_1$ (по условию), то $CD=C_1D_1$.
3. $AD = BC$ и $A_1D_1 = B_1C_1$. Так как $BC=B_1C_1$ (по условию), то $AD=A_1D_1$.
Таким образом, $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Поскольку точки $M$ и $M_1$ лежат на отрезках $CD$ и $C_1D_1$ соответственно, то $\angle ACM = \angle A_1C_1M_1$.

Также из равенства $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ следует, что $\angle ADC = \angle A_1D_1C_1$. В параллелограмме $ACBD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $CD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны. Аналогично, в параллелограмме $A_1C_1B_1D_1$ $\angle A_1D_1C_1 = \angle B_1C_1D_1$. Из этих равенств следует, что $\angle BCM = \angle B_1C_1M_1$.

Теперь найдем угол при вершине $C$ в каждом из исходных треугольников. $\angle ACB = \angle ACM + \angle BCM$. Аналогично, $\angle A_1C_1B_1 = \angle A_1C_1M_1 + \angle B_1C_1M_1$. Так как мы доказали, что $\angle ACM = \angle A_1C_1M_1$ и $\angle BCM = \angle B_1C_1M_1$, то $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем: $AC = A_1C_1$ (по условию), $BC = B_1C_1$ (по условию) и угол $\angle ACB$ равен углу $\angle A_1C_1B_1$ (по доказанному). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Что и требовалось доказать.

11.17. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и $AD = BC$. Докажите, что углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны.

Рис. 11.19

Для доказательства равенства углов $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $.

1. Сторона $ AB $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ CD $ треугольника $ \triangle CDA $ по условию задачи ($ AB = CD $).
2. Сторона $ BC $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ AD $ треугольника $ \triangle CDA $ по условию задачи ($ BC = AD $).
3. Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle CDA $.

Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $ \angle BAC $ в треугольнике $ \triangle ABC $ лежит напротив стороны $ BC $. Угол $ \angle DCA $ в треугольнике $ \triangle CDA $ лежит напротив стороны $ AD $. Так как стороны $ BC $ и $ AD $ равны по условию, то и противолежащие им углы $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ также равны.

Итак, мы доказали, что $ \angle BAC = \angle DCA $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ доказано на основе равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ по третьему признаку (по трем сторонам).