Страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.5. На рисунке 11.7 $AB = AD$ и $DC = BC$. Докажите, что отрезок AC является биссектрисой угла BAD.

Рис. 11.7

Для доказательства того, что отрезок $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть что $\angle DAC = \angle BAC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$. В этих треугольниках сторона $AD$ равна стороне $AB$ по условию ($AD = AB$), сторона $DC$ равна стороне $BC$ также по условию ($DC = BC$), а сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, все три стороны треугольника $\triangle ADC$ соответственно равны трём сторонам треугольника $\triangle ABC$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), треугольник $\triangle ADC$ равен треугольнику $\triangle ABC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности углов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle DAC$ в $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $DC$. Угол $\angle BAC$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Поскольку по условию $DC = BC$, то и углы, лежащие против этих сторон, равны: $\angle DAC = \angle BAC$.

Так как отрезок $AC$ делит угол $BAD$ на два равных угла ($\angle DAC$ и $\angle BAC$), то по определению он является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$ равны по третьему признаку (по трём сторонам), так как $AD=AB$, $DC=BC$ по условию, а $AC$ — общая сторона. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAC = \angle BAC$. Следовательно, $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

11.6. На рисунке 11.8 $AD = BC$ и $AC = BD$. Докажите, что угол $\angle BAD$ равен углу $\angle ABC$.

Рис. 11.8

Для доказательства равенства углов $\angle BAD$ и $\angle ABC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$.
В этих треугольниках:
1. Сторона $AB$ является общей.
2. Стороны $AD$ и $BC$ равны по условию задачи ($AD = BC$).
3. Стороны $BD$ и $AC$ (диагонали четырехугольника) равны по условию задачи ($BD = AC$).
Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle BAC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В $\triangle ABD$ угол $\angle BAD$ лежит напротив стороны $BD$. В $\triangle BAC$ угол $\angle ABC$ лежит напротив стороны $AC$. Поскольку стороны $BD$ и $AC$ равны, то и противолежащие им углы в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$ также равны.
Следовательно, $\angle BAD = \angle ABC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11.7. На рисунке 11.9 $AB = BC$, $AD = CD$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 11.9

Дано:
Четырехугольник $ABCD$.
$AB = BC$ (отмечено одной черточкой).
$AD = CD$ (отмечено двумя черточками).
$\angle 1 = \angle DAB$.
$\angle 2 = \angle BCD$.

Доказать:
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:

1. Проведем диагональ $BD$, которая соединит вершины $B$ и $D$. Эта диагональ разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

2. Рассмотрим эти два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
- Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle CBD$ по условию ($AB = BC$).
- Сторона $AD$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CBD$ по условию ($AD = CD$).
- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

3. Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны. Записываем это как $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

4. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В равных треугольниках напротив равных (в данном случае — общих) сторон лежат равные углы. Угол $\angle DAB$ (угол 1) в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив общей стороны $BD$. Угол $\angle BCD$ (угол 2) в треугольнике $\triangle CBD$ также лежит напротив общей стороны $BD$. Значит, эти углы являются соответствующими углами в равных треугольниках.

5. Так как $\triangle ABD \cong \triangle CBD$, то $\angle DAB = \angle BCD$. Соответственно, $\angle 1 = \angle 2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов 1 и 2 доказано. Доказательство основано на том, что диагональ $BD$ делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AB=BC$ и $AD=CD$ по условию, а сторона $BD$ — общая. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, поэтому $\angle DAB = \angle BCD$.

11.8. На рисунке 11.10 $AO = OC$, $AD = CD$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 11.10

Дано:
Четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
$AO = OC$
$AD = CD$

Доказать:
$AB = BC$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. По условию $AD = CD$, следовательно, $\triangle ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. В этом треугольнике отрезок $DO$ является медианой, так как точка $O$ — середина стороны $AC$ (согласно условию $AO = OC$).

3. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $DO$ перпендикулярна $AC$ ($DO \perp AC$), что означает $\angle AOD = 90^\circ$.

4. Рассмотрим углы при точке пересечения диагоналей $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, а значит, они равны. Отсюда следует, что $\angle COB = \angle AOD = 90^\circ$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$, следовательно, $BO$ является медианой $\triangle ABC$.

6. Как мы доказали в пункте 4, $\angle COB = 90^\circ$. Это означает, что медиана $BO$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть $BO$ также является высотой в $\triangle ABC$.

7. Если в треугольнике медиана одновременно является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны.

8. Таким образом, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = BC$ доказано.

11.9. На рисунке 11.11 $AB = BC$, $AD = CD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 11.11

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором по условию $AB = BC$ и $AD = CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Для доказательства равенства отрезков $AO$ и $OC$ рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$. В этих треугольниках стороны $AB$ и $CB$ равны по условию ($AB = CB$), стороны $AD$ и $CD$ также равны по условию ($AD = CD$), а сторона $BD$ является общей. Таким образом, $ΔABD = ΔCBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔCBD$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $∠ABD$ равен углу $∠CBD$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то углы $∠ABO$ и $∠CBO$ также равны.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔABO$ и $ΔCBO$. В них сторона $AB$ равна стороне $CB$ по условию, сторона $BO$ является общей, а углы $∠ABO$ и $∠CBO$ равны, как было показано выше. Следовательно, $ΔABO = ΔCBO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как $ΔABO = ΔCBO$, то их соответствующие стороны равны. Отсюда следует, что $AO = CO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Равенство отрезков $AO$ и $OC$ следует из равенства треугольников $ΔABO$ и $ΔCBO$, которое, в свою очередь, доказывается с использованием равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔCBD$.