Номер 11.5, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.5. На рисунке 11.7 $AB = AD$ и $DC = BC$. Докажите, что отрезок AC является биссектрисой угла BAD.

Рис. 11.7

Для доказательства того, что отрезок $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть что $\angle DAC = \angle BAC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$. В этих треугольниках сторона $AD$ равна стороне $AB$ по условию ($AD = AB$), сторона $DC$ равна стороне $BC$ также по условию ($DC = BC$), а сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, все три стороны треугольника $\triangle ADC$ соответственно равны трём сторонам треугольника $\triangle ABC$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), треугольник $\triangle ADC$ равен треугольнику $\triangle ABC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности углов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle DAC$ в $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $DC$. Угол $\angle BAC$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Поскольку по условию $DC = BC$, то и углы, лежащие против этих сторон, равны: $\angle DAC = \angle BAC$.

Так как отрезок $AC$ делит угол $BAD$ на два равных угла ($\angle DAC$ и $\angle BAC$), то по определению он является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$ равны по третьему признаку (по трём сторонам), так как $AD=AB$, $DC=BC$ по условию, а $AC$ — общая сторона. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAC = \angle BAC$. Следовательно, $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.