Номер 11.11, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 11.11, страница 65.

Условие.

11.11. На рисунке 11.13 $AD = CF$, $AB = FE$, $BC = ED$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 11.13

Решение.

Решение 2.

Для доказательства равенства углов 1 и 2 рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FED$.

По условию задачи нам даны следующие равенства сторон: $AB = FE$, $BC = ED$ и $AD = CF$.

Найдем длины сторон $AC$ и $FD$. Точки A, D, C, F лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$: $AC = AD + DC$. Аналогично, длина отрезка $FD$ равна сумме длин отрезков $FC$ и $CD$: $FD = FC + DC$.

Так как по условию $AD = CF$, мы можем заключить, что $AC = AD + DC = CF + DC = FD$.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle FED$:$AB = FE$ (по условию),$BC = ED$ (по условию),$AC = FD$ (как доказано выше).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle FED$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол 2, который является углом $\angle BCA$ в треугольнике $\triangle ABC$, лежит против стороны $AB$. Угол 1, который является углом $\angle FDE$ в треугольнике $\triangle FED$, лежит против стороны $FE$.

Поскольку стороны $AB$ и $FE$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle BCA = \angle FDE$. Это означает, что $\angle 2 = \angle 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle 1$ и $\angle 2$ доказано.