Номер 11.14, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.14. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если у них равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$, медианы $CM$ и $C_1M_1$ (рис. 11.16).

Рис. 11.16

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. $AB = A_1B_1$.
3. $AC = A_1C_1$.
4. $CM$ — медиана $\triangle ABC$ к стороне $AB$.
5. $C_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$ к стороне $A_1B_1$.
6. $CM = C_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$. По условию нам известно, что $AC = A_1C_1$ и $CM = C_1M_1$.

2. Поскольку $CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как $C_1M_1$ — медиана треугольника $A_1B_1C_1$ к стороне $A_1B_1$, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

3. Из условия задачи известно, что $AB = A_1B_1$. Отсюда следует, что половины этих сторон также равны: $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}A_1B_1 = A_1M_1$.

4. Таким образом, в треугольниках $AMC$ и $A_1M_1C_1$ три стороны соответственно равны: $AC = A_1C_1$ (по условию), $CM = C_1M_1$ (по условию), $AM = A_1M_1$ (по доказанному выше). Следовательно, $\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

5. Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. Эти углы являются углами $\angle A$ и $\angle A_1$ в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Значит, $\angle A = \angle A_1$.

6. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному выше)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано на основании признака равенства по двум сторонам и углу между ними.