Номер 11.18, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.18. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и угол $BAC$ равен углу $DCA$. Докажите, что углы $DAC$ и $BCA$ равны.

Рис. 11.19

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.По условию задачи дано, что сторона $AB$ равна стороне $CD$, и угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$. Сторона $AC$ является общей для этих двух треугольников.Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABC$ (стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle BAC$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CDA$ (стороны $CD$, $CA$ и угол $\angle DCA$).Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$.Запишем равенство треугольников: $\triangle ABC = \triangle CDA$.Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы также равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle BCA$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Угол $\angle DAC$ в $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $CD$.Так как по условию $AB = CD$, то и соответствующие им противолежащие углы равны: $\angle BCA = \angle DAC$.Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство углов $\angle DAC$ и $\angle BCA$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по первому признаку.