Номер 11.13, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.13. На рисунке 11.15 $AB = CD$, $AD = BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABE = \triangle CDF$.

Рис. 11.15

Доказательство:
1. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$. По признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

2. Одним из свойств параллелограмма является равенство противолежащих углов. Значит, $ \angle ABC = \angle ADC $ и $ \angle BAD = \angle BCD $.

3. По условию, $BE$ — биссектриса угла $ \angle ABC $. Это означает, что она делит угол $ \angle ABC $ на два равных угла: $ \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC $.

4. Аналогично, по условию, $DF$ — биссектриса угла $ \angle ADC $. Это означает, что $ \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC $.

5. Так как $ \angle ABC = \angle ADC $ (из п. 2), то и их половины равны: $ \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC $. Из этого следует, что $ \angle ABE = \angle CDF $.

6. Другим свойством параллелограмма является параллельность противолежащих сторон. Следовательно, $AB \parallel CD$.

7. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $ \angle BAC = \angle DCA $.

8. Из рисунка видно, что точки $E$ и $F$ лежат на диагонали $AC$. Поэтому $ \angle BAE $ — это тот же угол, что и $ \angle BAC $, а $ \angle DCF $ — это тот же угол, что и $ \angle DCA $. Таким образом, из равенства в п. 7 следует, что $ \angle BAE = \angle DCF $.

9. Теперь рассмотрим треугольники $ \Delta ABE $ и $ \Delta CDF $. Сравним их элементы:
- $AB = CD$ (по условию задачи).
- $ \angle ABE = \angle CDF $ (доказано в п. 5).
- $ \angle BAE = \angle DCF $ (доказано в п. 8).

10. Таким образом, треугольник $ \Delta ABE $ равен треугольнику $ \Delta CDF $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \Delta ABE = \Delta CDF $.