Номер 11.7, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.7. На рисунке 11.9 $AB = BC$, $AD = CD$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 11.9

Дано:
Четырехугольник $ABCD$.
$AB = BC$ (отмечено одной черточкой).
$AD = CD$ (отмечено двумя черточками).
$\angle 1 = \angle DAB$.
$\angle 2 = \angle BCD$.

Доказать:
$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:

1. Проведем диагональ $BD$, которая соединит вершины $B$ и $D$. Эта диагональ разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

2. Рассмотрим эти два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
- Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle CBD$ по условию ($AB = BC$).
- Сторона $AD$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CBD$ по условию ($AD = CD$).
- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

3. Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны. Записываем это как $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

4. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В равных треугольниках напротив равных (в данном случае — общих) сторон лежат равные углы. Угол $\angle DAB$ (угол 1) в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив общей стороны $BD$. Угол $\angle BCD$ (угол 2) в треугольнике $\triangle CBD$ также лежит напротив общей стороны $BD$. Значит, эти углы являются соответствующими углами в равных треугольниках.

5. Так как $\triangle ABD \cong \triangle CBD$, то $\angle DAB = \angle BCD$. Соответственно, $\angle 1 = \angle 2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов 1 и 2 доказано. Доказательство основано на том, что диагональ $BD$ делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AB=BC$ и $AD=CD$ по условию, а сторона $BD$ — общая. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, поэтому $\angle DAB = \angle BCD$.