Номер 11.8, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.8. На рисунке 11.10 $AO = OC$, $AD = CD$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 11.10

Дано:
Четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
$AO = OC$
$AD = CD$

Доказать:
$AB = BC$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. По условию $AD = CD$, следовательно, $\triangle ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. В этом треугольнике отрезок $DO$ является медианой, так как точка $O$ — середина стороны $AC$ (согласно условию $AO = OC$).

3. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $DO$ перпендикулярна $AC$ ($DO \perp AC$), что означает $\angle AOD = 90^\circ$.

4. Рассмотрим углы при точке пересечения диагоналей $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, а значит, они равны. Отсюда следует, что $\angle COB = \angle AOD = 90^\circ$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$, следовательно, $BO$ является медианой $\triangle ABC$.

6. Как мы доказали в пункте 4, $\angle COB = 90^\circ$. Это означает, что медиана $BO$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть $BO$ также является высотой в $\triangle ABC$.

7. Если в треугольнике медиана одновременно является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны.

8. Таким образом, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = BC$ доказано.