Номер 11.1, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.1. На рисунках 11.3 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Рис. 11.3

а)
Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. В этих треугольниках стороны $AC$ и $BC$ равны по условию (отмечены двумя черточками), стороны $AD$ и $BD$ равны по условию (отмечены одной черточкой), а сторона $CD$ является общей. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ADC = \triangle BDC$.
Ответ: $\triangle ADC = \triangle BDC$.

б)
Рассмотрим треугольники $\triangle EHF$ и $\triangle GHF$. По условию, сторона $EH$ равна стороне $HG$ (отмечены одной черточкой), а сторона $EF$ равна стороне $FG$ (отмечены двумя черточками). Сторона $HF$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, по признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), $\triangle EHF = \triangle GHF$.
Ответ: $\triangle EHF = \triangle GHF$.

в)
Рассмотрим треугольники $\triangle LKN$ и $\triangle LMN$. Согласно отметкам на рисунке, $LK = LM$ (одна черточка) и $KN = MN$ (две черточки). Сторона $LN$ является общей для этих треугольников. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle LKN = \triangle LMN$.
Ответ: $\triangle LKN = \triangle LMN$.

г)
На данном рисунке можно выделить три пары равных треугольников:
1. $\triangle RPS$ и $\triangle RQS$. У них $RP=RQ$ (по условию), $PS=QS$ (по условию), а сторона $RS$ — общая. Следовательно, $\triangle RPS = \triangle RQS$ по трем сторонам.
2. $\triangle RPO$ и $\triangle RQO$. У них $RP=RQ$ (по условию), $PO=QO$ (по условию), а сторона $RO$ — общая. Следовательно, $\triangle RPO = \triangle RQO$ по трем сторонам.
3. $\triangle PSO$ и $\triangle QSO$. У них $PS=QS$ (по условию), $PO=QO$ (по условию), а сторона $SO$ — общая. Следовательно, $\triangle PSO = \triangle QSO$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle RPS = \triangle RQS$, $\triangle RPO = \triangle RQO$, $\triangle PSO = \triangle QSO$.

д)
На данном рисунке можно выделить три пары равных треугольников:
1. $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$. По условию $AD=BC$, $AO=BO$ и $DO=CO$. Следовательно, $\triangle ADO = \triangle BCO$ по трем сторонам.
2. $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$. Сторона $AB$ — общая. $AD=BC$ по условию. $BD = BO+OD$ и $AC = AO+OC$. Так как $BO=AO$ и $OD=CO$, то $BD=AC$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle BAC$ по трем сторонам.
3. $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. Сторона $CD$ — общая. $AD=BC$ по условию. Как показано выше, $AC=BD$. Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BCD$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle ADO = \triangle BCO$, $\triangle ABD = \triangle BAC$, $\triangle ADC = \triangle BCD$.

е)
На данном рисунке можно найти две пары равных треугольников:
1. $\triangle SKL$ и $\triangle SNM$. По условию $SK=SN$, $KL=NM$ и $SL=SM$. Следовательно, $\triangle SKL = \triangle SNM$ по трем сторонам.
2. $\triangle SKM$ и $\triangle SNL$. По условию $SK=SN$ и $SL=SM$. Сторона $KM$ состоит из отрезков $KL$ и $LM$, т.е. $KM = KL+LM$. Сторона $NL$ состоит из отрезков $NM$ и $ML$, т.е. $NL=NM+LM$. Поскольку $KL=NM$ по условию, то $KM=NL$. Таким образом, $\triangle SKM = \triangle SNL$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle SKL = \triangle SNM$, $\triangle SKM = \triangle SNL$.

ж)
На рисунке изображен квадрат, у которого все стороны равны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
1. Треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. По условию, стороны квадрата равны: $AB=BC=CD=DA$. Также равны отрезки диагоналей: $AO=BO=CO=DO$. Рассмотрим, например, $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$: у них $AB=BC$, $AO=CO$, а сторона $BO$ — общая. Значит, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по трем сторонам. Аналогично можно доказать равенство всех четырех треугольников между собой.
2. Треугольники $\triangle ABC$, $\triangle BCD$, $\triangle CDA$ и $\triangle DAB$. Рассмотрим $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$. У них сторона $AB$ — общая, $AD=BC$ (как стороны квадрата), $DB=AC$ (как диагонали квадрата). Значит, $\triangle DAB = \triangle CBA$ по трем сторонам. Аналогично можно доказать равенство всех четырех больших треугольников между собой.
Ответ: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$; $\triangle ABC = \triangle BCD = \triangle CDA = \triangle DAB$.