Страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда луч $C_1 C_2$ совпадает с одной из сторон угла $A_1 C_1 B_1$ или лежит вне этого угла.

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольников $ABC$ и $DEF$, участвующих в третьем признаке равенства треугольников.

Самостоятельно рассмотрите случаи, когда луч C₁C₂ совпадает с одной из сторон угла A₁C₁B₁ или лежит вне этого угла.

Данный вопрос относится к доказательству третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам). Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны соответственные стороны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

Для доказательства их равенства, наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы сторона $A_1B_1$ совпала со стороной $AB$, а вершина $C_1$ оказалась в плоскости по другую сторону от прямой $AB$, чем вершина $C$. Обозначим новое положение вершины $C_1$ как $C_2$. Таким образом, мы получаем два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ABC_2$, для которых нам известно, что $AC = AC_2$ и $BC = BC_2$. Нам нужно доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle ABC_2$.

Соединим точки $C$ и $C_2$ отрезком. Получатся два равнобедренных треугольника: $\triangle ACC_2$ (так как $AC = AC_2$) и $\triangle BCC_2$ (так как $BC = BC_2$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle ACC_2 = \angle AC_2C$ и $\angle BCC_2 = \angle BC_2C$.

Стандартный случай доказательства предполагает, что отрезок $CC_2$ пересекает отрезок $AB$. Вопрос предлагает рассмотреть другие случаи. Будем интерпретировать «луч $C_1C_2$» как прямую, проходящую через вершины $C$ и $C_2$ в нашей конструкции, а «угол $A_1C_1B_1$» как угол $\angle ACB$.

Случай 1: Прямая $CC_2$ проходит через одну из вершин общего основания, например, через вершину $A$.

Этот случай соответствует ситуации, когда, в терминах вопроса, «луч совпадает с одной из сторон угла». Если прямая $CC_2$ проходит через точку $A$, то точки $C, A, C_2$ лежат на одной прямой. Так как треугольник $\triangle ACC_2$ равнобедренный с основанием $CC_2$, то его боковые стороны $AC$ и $AC_2$ равны. Это возможно. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle BCC_2$ ($BC = BC_2$). Прямая $BA$ проходит через вершину $B$ и точку $A$ на основании $CC_2$. В равнобедренном треугольнике $\triangle BCC_2$ линия $BA$ является высотой, медианой и биссектрисой, если $BA \perp CC_2$. Действительно, прямая $AB$ (линия, соединяющая центры окружностей, на которых лежат $C$ и $C_2$) является серединным перпендикуляром к отрезку $CC_2$. Если $A$ лежит на $CC_2$, то $AB \perp CC_2$ в точке $A$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle BCC_2$ отрезок $BA$ является высотой к основанию $CC_2$ (или его продолжению). Следовательно, $BA$ также является биссектрисой угла $\angle CBC_2$. Отсюда, $\angle CBA = \angle C_2BA$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABC_2$:

1. $BC = BC_2$ (по построению).

2. $AB$ — общая сторона.

3. $\angle ABC = \angle ABC_2$ (как доказано выше).

Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства), $\triangle ABC \cong \triangle ABC_2$. А значит, и исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны.

Случай 2: Прямая $CC_2$ не пересекает отрезок $AB$.

Этот случай соответствует ситуации, когда «луч лежит вне угла». Это означает, что отрезок $AB$ полностью лежит по одну сторону от прямой $CC_2$.

В этой конфигурации, как и ранее, треугольники $\triangle ACC_2$ и $\triangle BCC_2$ являются равнобедренными. Следовательно, углы при их основаниях равны: $\angle ACC_2 = \angle AC_2C$ и $\angle BCC_2 = \angle BC_2C$.

Однако, в отличие от стандартного случая, искомые углы $\angle ACB$ и $\angle AC_2B$ получаются не сложением, а вычитанием углов. Например, на приведенном рисунке:

$\angle ACB = \angle BCC_2 - \angle ACC_2$

$\angle AC_2B = \angle BC_2C - \angle AC_2C$

Поскольку правые части этих равенств состоят из попарно равных углов, то и левые части равны. Таким образом, $\angle ACB = \angle AC_2B$.

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ABC_2$ по первому признаку (SAS):

1. $AC = AC_2$ (по построению).

2. $BC = BC_2$ (по построению).

3. $\angle ACB = \angle AC_2B$ (как доказано выше).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ABC_2$, и исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны.

Ответ: В обоих рассмотренных случаях, используя свойства равнобедренных треугольников, доказывается равенство углов ($\angle ABC = \angle ABC_2$ в первом случае и $\angle ACB = \angle AC_2B$ во втором), что затем позволяет доказать равенство треугольников по первому признаку (две стороны и угол между ними).

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольников ABC и DEF, участвующих в третьем признаке равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников, также известный как признак «по трем сторонам» (Side-Side-Side, SSS), утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ условия, необходимые для применения этого признака, представляют собой три равенства, связывающие длины их сторон:

1. Равенство первой пары соответственных сторон: $AB = DE$.

2. Равенство второй пары соответственных сторон: $BC = EF$.

3. Равенство третьей пары соответственных сторон: $AC = DF$.

Если эти три условия выполнены, то из них следует, что треугольники равны: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Ответ: Равенства элементов треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$, участвующих в третьем признаке равенства треугольников, следующие:
$AB = DE$
$BC = EF$
$AC = DF$

Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников — это признак равенства по трём сторонам. Его также называют признаком ССС (сторона, сторона, сторона).

Формулировка теоремы звучит следующим образом: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно этому признаку, если нам дано, что:

1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (на рисунке отмечено одной черточкой);
2. Сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ (на рисунке отмечено двумя черточками);
3. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (на рисунке отмечено тремя черточками).

В виде формул это выглядит так:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$

То из выполнения этих трёх условий следует, что треугольники полностью равны: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Это, в свою очередь, означает, что и все соответствующие углы этих треугольников также равны: $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$.

Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

11.1. На рисунках 11.3 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Рис. 11.3

а)
Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. В этих треугольниках стороны $AC$ и $BC$ равны по условию (отмечены двумя черточками), стороны $AD$ и $BD$ равны по условию (отмечены одной черточкой), а сторона $CD$ является общей. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ADC = \triangle BDC$.
Ответ: $\triangle ADC = \triangle BDC$.

б)
Рассмотрим треугольники $\triangle EHF$ и $\triangle GHF$. По условию, сторона $EH$ равна стороне $HG$ (отмечены одной черточкой), а сторона $EF$ равна стороне $FG$ (отмечены двумя черточками). Сторона $HF$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, по признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), $\triangle EHF = \triangle GHF$.
Ответ: $\triangle EHF = \triangle GHF$.

в)
Рассмотрим треугольники $\triangle LKN$ и $\triangle LMN$. Согласно отметкам на рисунке, $LK = LM$ (одна черточка) и $KN = MN$ (две черточки). Сторона $LN$ является общей для этих треугольников. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle LKN = \triangle LMN$.
Ответ: $\triangle LKN = \triangle LMN$.

г)
На данном рисунке можно выделить три пары равных треугольников:
1. $\triangle RPS$ и $\triangle RQS$. У них $RP=RQ$ (по условию), $PS=QS$ (по условию), а сторона $RS$ — общая. Следовательно, $\triangle RPS = \triangle RQS$ по трем сторонам.
2. $\triangle RPO$ и $\triangle RQO$. У них $RP=RQ$ (по условию), $PO=QO$ (по условию), а сторона $RO$ — общая. Следовательно, $\triangle RPO = \triangle RQO$ по трем сторонам.
3. $\triangle PSO$ и $\triangle QSO$. У них $PS=QS$ (по условию), $PO=QO$ (по условию), а сторона $SO$ — общая. Следовательно, $\triangle PSO = \triangle QSO$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle RPS = \triangle RQS$, $\triangle RPO = \triangle RQO$, $\triangle PSO = \triangle QSO$.

д)
На данном рисунке можно выделить три пары равных треугольников:
1. $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$. По условию $AD=BC$, $AO=BO$ и $DO=CO$. Следовательно, $\triangle ADO = \triangle BCO$ по трем сторонам.
2. $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$. Сторона $AB$ — общая. $AD=BC$ по условию. $BD = BO+OD$ и $AC = AO+OC$. Так как $BO=AO$ и $OD=CO$, то $BD=AC$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle BAC$ по трем сторонам.
3. $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. Сторона $CD$ — общая. $AD=BC$ по условию. Как показано выше, $AC=BD$. Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BCD$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle ADO = \triangle BCO$, $\triangle ABD = \triangle BAC$, $\triangle ADC = \triangle BCD$.

е)
На данном рисунке можно найти две пары равных треугольников:
1. $\triangle SKL$ и $\triangle SNM$. По условию $SK=SN$, $KL=NM$ и $SL=SM$. Следовательно, $\triangle SKL = \triangle SNM$ по трем сторонам.
2. $\triangle SKM$ и $\triangle SNL$. По условию $SK=SN$ и $SL=SM$. Сторона $KM$ состоит из отрезков $KL$ и $LM$, т.е. $KM = KL+LM$. Сторона $NL$ состоит из отрезков $NM$ и $ML$, т.е. $NL=NM+LM$. Поскольку $KL=NM$ по условию, то $KM=NL$. Таким образом, $\triangle SKM = \triangle SNL$ по трем сторонам.
Ответ: $\triangle SKL = \triangle SNM$, $\triangle SKM = \triangle SNL$.

ж)
На рисунке изображен квадрат, у которого все стороны равны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
1. Треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. По условию, стороны квадрата равны: $AB=BC=CD=DA$. Также равны отрезки диагоналей: $AO=BO=CO=DO$. Рассмотрим, например, $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$: у них $AB=BC$, $AO=CO$, а сторона $BO$ — общая. Значит, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по трем сторонам. Аналогично можно доказать равенство всех четырех треугольников между собой.
2. Треугольники $\triangle ABC$, $\triangle BCD$, $\triangle CDA$ и $\triangle DAB$. Рассмотрим $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$. У них сторона $AB$ — общая, $AD=BC$ (как стороны квадрата), $DB=AC$ (как диагонали квадрата). Значит, $\triangle DAB = \triangle CBA$ по трем сторонам. Аналогично можно доказать равенство всех четырех больших треугольников между собой.
Ответ: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$; $\triangle ABC = \triangle BCD = \triangle CDA = \triangle DAB$.