Страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой угол называется внешним углом треугольника?

2. Сколько внешних углов имеется при каждой вершине треугольника?

3. Какое неравенство имеет место для внешнего угла треугольника?

4. Какой угол лежит против большей стороны треугольника?

5. Какая сторона лежит против большего угла треугольника?

1.Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Он образуется одной из сторон треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.
Например, для треугольника $ABC$, изображенного ниже, если продлить сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$, то угол $\delta$ ($\angle BCD$) будет внешним углом при вершине $C$. Он смежен с внутренним углом $\gamma$ ($\angle ACB$).

Ответ: Угол, смежный с внутренним углом треугольника.

2.При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла. Это делается путем продления каждой из двух сторон, образующих данную вершину. Эти два внешних угла являются вертикальными по отношению друг к другу, и, следовательно, их градусные меры равны. Хотя формально углов два, они равны, поэтому часто говорят об одном внешнем угле при вершине, имея в виду пару равных вертикальных углов.
Ответ: Два.

3.Для внешнего угла треугольника справедливо следующее свойство: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть $\delta$ — это внешний угол при одной из вершин, а $\alpha$ и $\beta$ — это два внутренних угла при двух других вершинах. Тогда выполняется равенство: $\delta = \alpha + \beta$.
Поскольку градусные меры углов треугольника всегда положительны ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), из этого равенства напрямую следует неравенство: внешний угол треугольника строго больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. То есть, $\delta > \alpha$ и $\delta > \beta$.
Ответ: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

4.В любом треугольнике существует зависимость между длинами сторон и величинами противолежащих им углов. Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол.
Например, если в треугольнике $ABC$ сторона $a$ (противолежащая углу $A$) длиннее стороны $b$ (противолежащей углу $B$), то есть $a > b$, то и угол $A$ будет больше угла $B$, то есть $\angle A > \angle B$.
Ответ: Больший угол.

5.Это обратное утверждение к предыдущему, и оно также является верной теоремой. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Например, если в треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $B$ ($\angle A > \angle B$), то сторона $a$, лежащая напротив угла $A$, будет длиннее стороны $b$, лежащей напротив угла $B$ ($a > b$).
Ответ: Большая сторона.

12.1. Может ли внешний угол треугольника быть больше:
а) одного внутреннего угла;
б) двух внутренних углов;
в) трех внутренних углов этого треугольника? Приведите примеры.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть в треугольнике есть внутренние углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма этих углов равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Внешний угол при вершине с углом $\gamma$, который мы обозначим как $\gamma_{внеш}$, равен сумме двух других углов: $\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$. Также внешний угол является смежным с соответствующим внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$, то есть $\gamma_{внеш} + \gamma = 180^\circ$.

а) одного внутреннего угла

Да, внешний угол треугольника может быть больше одного внутреннего угла. Более того, любой внешний угол треугольника всегда больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний угол $\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$. Поскольку углы треугольника всегда имеют положительную градусную меру ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), то очевидно, что $\gamma_{внеш} > \alpha$ и $\gamma_{внеш} > \beta$. Следовательно, внешний угол всегда больше как минимум двух внутренних углов, а значит и одного.

Пример: Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Внешний угол, смежный с углом $30^\circ$, равен $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$. Этот угол больше, чем внутренний угол $90^\circ$ (и, разумеется, больше $60^\circ$ и $30^\circ$).

Ответ: да, может.

б) двух внутренних углов

Да, внешний угол треугольника может быть больше двух внутренних углов. Как было показано в предыдущем пункте, любой внешний угол по определению равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$), и поэтому он всегда больше каждого из них по отдельности. Таким образом, любой внешний угол треугольника всегда больше двух внутренних углов.

Пример: Возьмем треугольник с углами $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Внешний угол, смежный с углом $40^\circ$, равен $70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$. Этот угол больше двух других внутренних углов: $140^\circ > 70^\circ$ и $140^\circ > 70^\circ$.

Ответ: да, может.

в) трех внутренних углов этого треугольника

Да, внешний угол треугольника может быть больше всех трех его внутренних углов. Для этого необходимо, чтобы выполнялись три неравенства: $\gamma_{внеш} > \alpha$, $\gamma_{внеш} > \beta$ и $\gamma_{внеш} > \gamma$. Первые два неравенства ($\gamma_{внеш} > \alpha$ и $\gamma_{внеш} > \beta$) выполняются всегда. Третье неравенство, $\gamma_{внеш} > \gamma$, выполняется, если смежный с ним внутренний угол $\gamma$ является острым ($\gamma < 90^\circ$). Так как в любом треугольнике есть как минимум два острых угла, то всегда можно выбрать такой внешний угол, который будет больше всех трех внутренних углов.

Пример: Рассмотрим остроугольный треугольник с углами $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$. Найдем внешний угол, смежный с углом $50^\circ$. Он равен $60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$. Сравним этот внешний угол со всеми тремя внутренними углами:

$130^\circ > 50^\circ$

$130^\circ > 60^\circ$

$130^\circ > 70^\circ$

Как видим, в данном случае внешний угол больше всех трех внутренних углов.

Ответ: да, может.

12.2. Может ли внешний угол треугольника быть:

а) равен одному из его внутренних углов;

б) меньше одного из его внутренних углов?

Для решения задачи воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

На рисунке показан треугольник ABC с внутренними углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Внешний угол при вершине C, обозначенный как $\gamma_{ext}$, по теореме равен сумме двух других внутренних углов: $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$. Также известно, что смежные углы (внутренний и внешний при одной вершине) в сумме дают $180^\circ$, то есть $\gamma + \gamma_{ext} = 180^\circ$. Поскольку в любом невырожденном треугольнике все углы положительны ($\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma > 0$), то из формулы $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$ следует, что внешний угол всегда строго больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним: $\gamma_{ext} > \alpha$ и $\gamma_{ext} > \beta$. Теперь рассмотрим поставленные вопросы.

а) равен одному из его внутренних углов

Как показано выше, внешний угол не может быть равен ни одному из двух не смежных с ним внутренних углов, так как он равен их сумме, а углы в треугольнике положительны.

Остается проверить, может ли внешний угол быть равен смежному с ним внутреннему углу. Пусть внешний угол при вершине C равен внутреннему углу при той же вершине: $\gamma_{ext} = \gamma$. Поскольку $\gamma + \gamma_{ext} = 180^\circ$, подставив $\gamma_{ext} = \gamma$, получим: $\gamma + \gamma = 180^\circ$, $2\gamma = 180^\circ$, $\gamma = 90^\circ$.

Это возможно, если треугольник является прямоугольным. Например, в прямоугольном треугольнике с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ внешний угол, смежный с прямым углом, равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, этот внешний угол равен смежному с ним внутреннему углу.

Ответ: Да, может. Это происходит в прямоугольном треугольнике, где внешний угол при вершине с прямым углом равен этому прямому углу ($90^\circ$).

б) меньше одного из его внутренних углов

Как было установлено ранее, внешний угол всегда больше любого из двух внутренних углов, не смежных с ним ($\gamma_{ext} > \alpha$ и $\gamma_{ext} > \beta$).

Следовательно, остается только возможность, что внешний угол может быть меньше смежного с ним внутреннего угла. Проверим это условие: $\gamma_{ext} < \gamma$. Используя свойство смежных углов $\gamma_{ext} = 180^\circ - \gamma$, подставим это в неравенство: $180^\circ - \gamma < \gamma$, $180^\circ < 2\gamma$, $\gamma > 90^\circ$.

Это возможно, если треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. Например, в треугольнике с углами $110^\circ, 40^\circ, 30^\circ$ внешний угол, смежный с тупым углом, равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Этот внешний угол ($70^\circ$) меньше, чем смежный с ним внутренний угол ($110^\circ$).

Ответ: Да, может. Это происходит в тупоугольном треугольнике, где внешний угол при вершине с тупым углом меньше этого тупого угла.

12.3. Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются его остальные внешние углы?

Пусть в треугольнике заданы три внутренних угла $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Внешние углы, смежные с соответствующими внутренними углами, обозначим как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$.

По определению, внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:

$\alpha + \alpha' = 180^\circ$

$\beta + \beta' = 180^\circ$

$\gamma + \gamma' = 180^\circ$

По условию задачи, один из внешних углов является острым. Пусть это будет угол $\alpha'$. Острый угол — это угол, величина которого меньше $90^\circ$. Значит, $0^\circ < \alpha' < 90^\circ$.

Найдем, каким в этом случае будет смежный с ним внутренний угол $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - \alpha'$

Поскольку $\alpha'$ меньше $90^\circ$, то внутренний угол $\alpha$ будет больше $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. То есть, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это означает, что угол $\alpha$ является тупым, а сам треугольник — тупоугольным.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол. Так как мы установили, что угол $\alpha$ — тупой, то два других внутренних угла, $\beta$ и $\gamma$, обязаны быть острыми ($0^\circ < \beta < 90^\circ$ и $0^\circ < \gamma < 90^\circ$).

Теперь определим, какими будут остальные внешние углы, $\beta'$ и $\gamma'$, которые смежны с острыми внутренними углами $\beta$ и $\gamma$.

Для угла $\beta'$:

$\beta' = 180^\circ - \beta$

Поскольку $\beta$ — острый угол, то $\beta'$ будет больше $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, внешний угол $\beta'$ является тупым.

Аналогично для угла $\gamma'$:

$\gamma' = 180^\circ - \gamma$

Поскольку $\gamma$ — также острый угол, то $\gamma'$ будет больше $90^\circ$. Следовательно, внешний угол $\gamma'$ также является тупым.

Таким образом, если один из внешних углов треугольника острый, то два других его внешних угла являются тупыми.

Ответ: Остальные внешние углы являются тупыми.

12.4. Может ли в треугольнике быть два:

а) острых;

б) тупых;

в) прямых внешних угла?

а) острых;

Разберем этот вопрос. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Если предположить, что в треугольнике есть два острых внешних угла, то соответствующие им внутренние углы будут тупыми.
Пусть $\alpha_{внешн} < 90^\circ$ и $\beta_{внешн} < 90^\circ$.
Тогда соответствующие внутренние углы:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (тупой угол).
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (тупой угол).
Таким образом, предположение о двух острых внешних углах приводит к тому, что в треугольнике должно быть два тупых внутренних угла.
Сумма двух этих тупых углов уже будет больше $180^\circ$: $\alpha_{внутр} + \beta_{внутр} > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Это противоречит теореме о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех внутренних углов равна $180^\circ$. Сумма только двух углов не может превышать $180^\circ$.
Следовательно, в треугольнике не может быть двух острых внешних углов.
Ответ: нет, не может.

б) тупых;

Рассмотрим возможность существования двух тупых внешних углов. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$.
Пусть в треугольнике есть два тупых внешних угла, $\alpha_{внешн} > 90^\circ$ и $\beta_{внешн} > 90^\circ$.
Найдем соответствующие им внутренние углы треугольника:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} < 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (острый угол).
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} < 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (острый угол).
Таким образом, наличие двух тупых внешних углов означает наличие двух острых внутренних углов. Наличие двух острых внутренних углов возможно. Фактически, в любом треугольнике есть как минимум два острых угла. Следовательно, у любого треугольника есть как минимум два тупых внешних угла.
Например, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Тогда все внешние углы равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Все три внешних угла являются тупыми.
Следовательно, в треугольнике может быть два тупых внешних угла.
Ответ: да, может.

в) прямых внешних угла?

Рассмотрим возможность существования двух прямых внешних углов. Прямой угол равен $90^\circ$.
Пусть в треугольнике есть два прямых внешних угла: $\alpha_{внешн} = 90^\circ$ и $\beta_{внешн} = 90^\circ$.
Найдем соответствующие им внутренние углы:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Это означает, что в треугольнике должно быть два прямых внутренних угла.
Сумма этих двух внутренних углов будет равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Сумма всех трех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда третий угол $\gamma$ должен быть равен $180^\circ - (\alpha_{внутр} + \beta_{внутр}) = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$.
Треугольник не может иметь угол, равный $0^\circ$. В этом случае все три вершины лежали бы на одной прямой, и фигура вырождалась бы в отрезок.
Следовательно, в треугольнике не может быть двух прямых внешних углов.
Ответ: нет, не может.