Номер 12.1, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.1. Может ли внешний угол треугольника быть больше:
а) одного внутреннего угла;
б) двух внутренних углов;
в) трех внутренних углов этого треугольника? Приведите примеры.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть в треугольнике есть внутренние углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма этих углов равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Внешний угол при вершине с углом $\gamma$, который мы обозначим как $\gamma_{внеш}$, равен сумме двух других углов: $\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$. Также внешний угол является смежным с соответствующим внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$, то есть $\gamma_{внеш} + \gamma = 180^\circ$.

а) одного внутреннего угла

Да, внешний угол треугольника может быть больше одного внутреннего угла. Более того, любой внешний угол треугольника всегда больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний угол $\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$. Поскольку углы треугольника всегда имеют положительную градусную меру ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), то очевидно, что $\gamma_{внеш} > \alpha$ и $\gamma_{внеш} > \beta$. Следовательно, внешний угол всегда больше как минимум двух внутренних углов, а значит и одного.

Пример: Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Внешний угол, смежный с углом $30^\circ$, равен $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$. Этот угол больше, чем внутренний угол $90^\circ$ (и, разумеется, больше $60^\circ$ и $30^\circ$).

Ответ: да, может.

б) двух внутренних углов

Да, внешний угол треугольника может быть больше двух внутренних углов. Как было показано в предыдущем пункте, любой внешний угол по определению равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($\gamma_{внеш} = \alpha + \beta$), и поэтому он всегда больше каждого из них по отдельности. Таким образом, любой внешний угол треугольника всегда больше двух внутренних углов.

Пример: Возьмем треугольник с углами $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Внешний угол, смежный с углом $40^\circ$, равен $70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$. Этот угол больше двух других внутренних углов: $140^\circ > 70^\circ$ и $140^\circ > 70^\circ$.

Ответ: да, может.

в) трех внутренних углов этого треугольника

Да, внешний угол треугольника может быть больше всех трех его внутренних углов. Для этого необходимо, чтобы выполнялись три неравенства: $\gamma_{внеш} > \alpha$, $\gamma_{внеш} > \beta$ и $\gamma_{внеш} > \gamma$. Первые два неравенства ($\gamma_{внеш} > \alpha$ и $\gamma_{внеш} > \beta$) выполняются всегда. Третье неравенство, $\gamma_{внеш} > \gamma$, выполняется, если смежный с ним внутренний угол $\gamma$ является острым ($\gamma < 90^\circ$). Так как в любом треугольнике есть как минимум два острых угла, то всегда можно выбрать такой внешний угол, который будет больше всех трех внутренних углов.

Пример: Рассмотрим остроугольный треугольник с углами $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$. Найдем внешний угол, смежный с углом $50^\circ$. Он равен $60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$. Сравним этот внешний угол со всеми тремя внутренними углами:

$130^\circ > 50^\circ$

$130^\circ > 60^\circ$

$130^\circ > 70^\circ$

Как видим, в данном случае внешний угол больше всех трех внутренних углов.

Ответ: да, может.