Номер 12.2, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.2. Может ли внешний угол треугольника быть:

а) равен одному из его внутренних углов;

б) меньше одного из его внутренних углов?

Для решения задачи воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

На рисунке показан треугольник ABC с внутренними углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Внешний угол при вершине C, обозначенный как $\gamma_{ext}$, по теореме равен сумме двух других внутренних углов: $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$. Также известно, что смежные углы (внутренний и внешний при одной вершине) в сумме дают $180^\circ$, то есть $\gamma + \gamma_{ext} = 180^\circ$. Поскольку в любом невырожденном треугольнике все углы положительны ($\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma > 0$), то из формулы $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$ следует, что внешний угол всегда строго больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним: $\gamma_{ext} > \alpha$ и $\gamma_{ext} > \beta$. Теперь рассмотрим поставленные вопросы.

а) равен одному из его внутренних углов

Как показано выше, внешний угол не может быть равен ни одному из двух не смежных с ним внутренних углов, так как он равен их сумме, а углы в треугольнике положительны.

Остается проверить, может ли внешний угол быть равен смежному с ним внутреннему углу. Пусть внешний угол при вершине C равен внутреннему углу при той же вершине: $\gamma_{ext} = \gamma$. Поскольку $\gamma + \gamma_{ext} = 180^\circ$, подставив $\gamma_{ext} = \gamma$, получим: $\gamma + \gamma = 180^\circ$, $2\gamma = 180^\circ$, $\gamma = 90^\circ$.

Это возможно, если треугольник является прямоугольным. Например, в прямоугольном треугольнике с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ внешний угол, смежный с прямым углом, равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, этот внешний угол равен смежному с ним внутреннему углу.

Ответ: Да, может. Это происходит в прямоугольном треугольнике, где внешний угол при вершине с прямым углом равен этому прямому углу ($90^\circ$).

б) меньше одного из его внутренних углов

Как было установлено ранее, внешний угол всегда больше любого из двух внутренних углов, не смежных с ним ($\gamma_{ext} > \alpha$ и $\gamma_{ext} > \beta$).

Следовательно, остается только возможность, что внешний угол может быть меньше смежного с ним внутреннего угла. Проверим это условие: $\gamma_{ext} < \gamma$. Используя свойство смежных углов $\gamma_{ext} = 180^\circ - \gamma$, подставим это в неравенство: $180^\circ - \gamma < \gamma$, $180^\circ < 2\gamma$, $\gamma > 90^\circ$.

Это возможно, если треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. Например, в треугольнике с углами $110^\circ, 40^\circ, 30^\circ$ внешний угол, смежный с тупым углом, равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Этот внешний угол ($70^\circ$) меньше, чем смежный с ним внутренний угол ($110^\circ$).

Ответ: Да, может. Это происходит в тупоугольном треугольнике, где внешний угол при вершине с тупым углом меньше этого тупого угла.