Номер 11.28, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.28. На рисунке 11.22 угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CDB$ и $AC \perp BD$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.22

Для доказательства равенства сторон $AD$ и $CD$ рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$, где $O$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$.

Из условия задачи известно, что $\angle ADB = \angle CDB$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то луч $DO$ является частью прямой, содержащей отрезок $BD$. Следовательно, $\angle ADO = \angle CDO$.

Также по условию $AC \perp BD$. Это означает, что угол между отрезками $AC$ и $BD$ в точке их пересечения $O$ равен $90^\circ$. Таким образом, углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются прямыми, то есть $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$. У них есть общая сторона $DO$. К этой стороне в обоих треугольниках прилегают углы, которые, как мы показали, попарно равны: $\angle ADO = \angle CDO$ и $\angle AOD = \angle COD$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle ADO$ равен треугольнику $\triangle CDO$ ($\triangle ADO \cong \triangle CDO$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $AD$ треугольника $\triangle ADO$ соответствует стороне $CD$ треугольника $\triangle CDO$ (они лежат напротив равных углов $\angle AOD$ и $\angle COD$ соответственно). Значит, стороны $AD$ и $CD$ равны между собой: $AD = CD$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано.