Номер 11.25, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.25. На рисунке 11.21 угол $ADB$ равен углу $CDB$ и $AC$ перпендикулярна $BD$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.21

Дано:

Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$\angle ADB = \angle CDB$.

$AC \perp BD$.

Доказать:

$AD = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $OD$ является общей для этих двух треугольников.

2. По условию задачи $AC \perp BD$, что означает, что диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются прямыми, и $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$.

3. По условию задачи $\angle ADB = \angle CDB$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то эти углы можно также обозначить как $\angle ADO$ и $\angle CDO$. Таким образом, $\angle ADO = \angle CDO$.

Мы имеем два треугольника, $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, у которых сторона $OD$ и два прилежащих к ней угла ($\angle AOD$ и $\angle ADO$ у первого, $\angle COD$ и $\angle CDO$ у второго) соответственно равны.

Следовательно, $\triangle AOD = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы (стороны и углы) также равны. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle AOD$ лежит напротив угла $\angle AOD$, а сторона $CD$ в треугольнике $\triangle COD$ лежит напротив угла $\angle COD$. Поскольку $\angle AOD = \angle COD$, то и соответствующие им стороны равны: $AD = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам.