Номер 11.19, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.19. На рисунке 11.19 угол $ABD$ равен углу $CDB$ и угол $ADB$ равен углу $CBD$. Докажите, что углы $BAD$ и $DCB$ равны.

Рис. 11.19

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

Согласно условию задачи, нам известно, что:

1. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CDB$. Запишем это как $ \angle ABD = \angle CDB $.

2. Угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CBD$. Запишем это как $ \angle ADB = \angle CBD $.

Кроме того, сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle CDB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Этот признак также известен как УСУ (угол-сторона-угол).

Из равенства треугольников ($ \triangle ABD = \triangle CDB $) следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ и угол $\angle DCB$ в треугольнике $\triangle CDB$ лежат напротив их общей стороны $BD$.

Следовательно, эти углы равны: $ \angle BAD = \angle DCB $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $BAD$ и $DCB$ доказано на основании того, что они являются соответственными углами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Равенство этих треугольников установлено по второму признаку (по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам, равенство которых дано в условии задачи).