Номер 11.15, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.15. На местности потребовалось разделить угол пополам (угол $ABC$ на рис. 11.17). Для этого на его сторонах от вершины с помощью рулетки отложили равные отрезки $BA$ и $BC$. Затем взяли ленту с обозначенной серединой (точкой $O$) и закрепили ее концы в точках $A$ и $C$. Натянув ленту за середину, отметили положение точки $O$ на местности, тогда луч $BO$ делит угол $ABC$ пополам. Обоснуйте правильность построения.

Рис. 11.17

Для обоснования правильности построения рассмотрим треугольники $ABO$ и $CBO$.

Согласно описанию построения, на сторонах угла $ABC$ от его вершины $B$ отложены равные отрезки $BA$ и $BC$. Следовательно, мы имеем равенство сторон: $BA = BC$.

Далее, была взята лента, концы которой закрепили в точках $A$ и $C$. Точка $O$ — это обозначенная середина этой ленты. Когда ленту натянули за точку $O$, образовались два отрезка $AO$ и $CO$. Так как $O$ — середина ленты, то длины этих отрезков равны: $AO = CO$.

Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников: $ABO$ и $CBO$.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон в треугольниках $ABO$ и $CBO$:
1. $BA = BC$ (по построению).
2. $AO = CO$ (так как $O$ — середина ленты $AC$).
3. $BO$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $ABO$ и $CBO$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ABO$ в треугольнике $ABO$ и угол $CBO$ в треугольнике $CBO$ являются соответственными, поэтому $\angle ABO = \angle CBO$.

По определению, луч, делящий угол на два равных угла, является его биссектрисой. Значит, луч $BO$ — биссектриса угла $ABC$. Построение выполнено правильно.

Ответ: Правильность построения основывается на равенстве треугольников $ABO$ и $CBO$ по третьему признаку (по трём сторонам). Равенство сторон следует из условий построения: $BA = BC$ (отложены равные отрезки), $AO = CO$ (точка $O$ — середина ленты, натянутой между точками $A$ и $C$), а сторона $BO$ — общая. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов $\angle ABO = \angle CBO$, что доказывает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.