Номер 11.12, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.12. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ принадлежат одной прямой. Докажите, что если треугольники $\triangle ABE_1$ и $\triangle ABE_2$ равны (рис. 11.14), то треугольники $\triangle CDE_1$ и $\triangle CDE_2$ тоже равны.

Рис. 11.14

По условию задачи треугольники $ \triangle ABE_1 $ и $ \triangle ABE_2 $ равны. Из определения равных треугольников следует, что их соответствующие стороны и углы равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$ AE_1 = AE_2 $
$ \angle BAE_1 = \angle BAE_2 $

Рассмотрим треугольники $ \triangle ADE_1 $ и $ \triangle ADE_2 $. Сторона $AD$ у них общая. Мы знаем, что $ AE_1 = AE_2 $. Поскольку точки A, B, D лежат на одной прямой, то углы $ \angle DAE_1 $ и $ \angle BAE_1 $ — это один и тот же угол. Аналогично, $ \angle DAE_2 = \angle BAE_2 $. Из условия следует, что $ \angle DAE_1 = \angle DAE_2 $. Таким образом, $ \triangle ADE_1 = \triangle ADE_2 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle ADE_1 $ и $ \triangle ADE_2 $ следует равенство их соответствующих сторон и углов, а именно $ DE_1 = DE_2 $ и $ \angle ADE_1 = \angle ADE_2 $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle CDE_1 $ и $ \triangle CDE_2 $, равенство которых нужно доказать. У них сторона $CD$ — общая. Мы уже доказали, что $ DE_1 = DE_2 $. Так как точки A, C, D лежат на одной прямой, то $ \angle CDE_1 $ — это тот же угол, что и $ \angle ADE_1 $, а $ \angle CDE_2 $ — тот же угол, что и $ \angle ADE_2 $. Поскольку $ \angle ADE_1 = \angle ADE_2 $, то и $ \angle CDE_1 = \angle CDE_2 $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle CDE_1 $ и $ \triangle CDE_2 $ две стороны и угол между ними соответственно равны ($CD$ — общая, $DE_1 = DE_2$, $ \angle CDE_1 = \angle CDE_2 $). Следовательно, $ \triangle CDE_1 = \triangle CDE_2 $ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: Равенство треугольников $CDE_1$ и $CDE_2$ доказано.