Страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.10. На рисунке 11.12 треугольники $ABC$ и $CDA$ равны, причем точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Докажите, что треугольники $BCD$ и $DAB$ равны.

Рис. 11.12

Дано:

$ \triangle ABC = \triangle CDA $. Точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.

Доказать:

$ \triangle BCD = \triangle DAB $.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать: $ \triangle BCD $ и $ \triangle DAB $.

По условию задачи $ \triangle ABC = \triangle CDA $. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Порядок вершин в записи равенства важен, он указывает на соответствующие элементы. Таким образом, мы имеем:

1. $BC = DA$ (сторона $BC$ треугольника $ABC$ соответствует стороне $DA$ треугольника $CDA$).

2. $AB = CD$ (сторона $AB$ треугольника $ABC$ соответствует стороне $CD$ треугольника $CDA$).

Теперь рассмотрим стороны треугольников $ \triangle BCD $ и $ \triangle DAB $:

- Сторона $BC$ треугольника $BCD$ равна стороне $DA$ треугольника $DAB$.

- Сторона $CD$ треугольника $BCD$ равна стороне $AB$ треугольника $DAB$.

- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны треугольника $ \triangle BCD $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle DAB $, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Равенство треугольников $BCD$ и $DAB$ доказано.

11.11. На рисунке 11.13 $AD = CF$, $AB = FE$, $BC = ED$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 11.13

Для доказательства равенства углов 1 и 2 рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FED$.

По условию задачи нам даны следующие равенства сторон: $AB = FE$, $BC = ED$ и $AD = CF$.

Найдем длины сторон $AC$ и $FD$. Точки A, D, C, F лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$: $AC = AD + DC$. Аналогично, длина отрезка $FD$ равна сумме длин отрезков $FC$ и $CD$: $FD = FC + DC$.

Так как по условию $AD = CF$, мы можем заключить, что $AC = AD + DC = CF + DC = FD$.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle FED$:$AB = FE$ (по условию),$BC = ED$ (по условию),$AC = FD$ (как доказано выше).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle FED$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол 2, который является углом $\angle BCA$ в треугольнике $\triangle ABC$, лежит против стороны $AB$. Угол 1, который является углом $\angle FDE$ в треугольнике $\triangle FED$, лежит против стороны $FE$.

Поскольку стороны $AB$ и $FE$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle BCA = \angle FDE$. Это означает, что $\angle 2 = \angle 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle 1$ и $\angle 2$ доказано.

11.12. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ принадлежат одной прямой. Докажите, что если треугольники $\triangle ABE_1$ и $\triangle ABE_2$ равны (рис. 11.14), то треугольники $\triangle CDE_1$ и $\triangle CDE_2$ тоже равны.

Рис. 11.14

По условию задачи треугольники $ \triangle ABE_1 $ и $ \triangle ABE_2 $ равны. Из определения равных треугольников следует, что их соответствующие стороны и углы равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$ AE_1 = AE_2 $
$ \angle BAE_1 = \angle BAE_2 $

Рассмотрим треугольники $ \triangle ADE_1 $ и $ \triangle ADE_2 $. Сторона $AD$ у них общая. Мы знаем, что $ AE_1 = AE_2 $. Поскольку точки A, B, D лежат на одной прямой, то углы $ \angle DAE_1 $ и $ \angle BAE_1 $ — это один и тот же угол. Аналогично, $ \angle DAE_2 = \angle BAE_2 $. Из условия следует, что $ \angle DAE_1 = \angle DAE_2 $. Таким образом, $ \triangle ADE_1 = \triangle ADE_2 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle ADE_1 $ и $ \triangle ADE_2 $ следует равенство их соответствующих сторон и углов, а именно $ DE_1 = DE_2 $ и $ \angle ADE_1 = \angle ADE_2 $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle CDE_1 $ и $ \triangle CDE_2 $, равенство которых нужно доказать. У них сторона $CD$ — общая. Мы уже доказали, что $ DE_1 = DE_2 $. Так как точки A, C, D лежат на одной прямой, то $ \angle CDE_1 $ — это тот же угол, что и $ \angle ADE_1 $, а $ \angle CDE_2 $ — тот же угол, что и $ \angle ADE_2 $. Поскольку $ \angle ADE_1 = \angle ADE_2 $, то и $ \angle CDE_1 = \angle CDE_2 $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle CDE_1 $ и $ \triangle CDE_2 $ две стороны и угол между ними соответственно равны ($CD$ — общая, $DE_1 = DE_2$, $ \angle CDE_1 = \angle CDE_2 $). Следовательно, $ \triangle CDE_1 = \triangle CDE_2 $ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: Равенство треугольников $CDE_1$ и $CDE_2$ доказано.

11.13. На рисунке 11.15 $AB = CD$, $AD = BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABE = \triangle CDF$.

Рис. 11.15

Доказательство:
1. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$. По признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

2. Одним из свойств параллелограмма является равенство противолежащих углов. Значит, $ \angle ABC = \angle ADC $ и $ \angle BAD = \angle BCD $.

3. По условию, $BE$ — биссектриса угла $ \angle ABC $. Это означает, что она делит угол $ \angle ABC $ на два равных угла: $ \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC $.

4. Аналогично, по условию, $DF$ — биссектриса угла $ \angle ADC $. Это означает, что $ \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC $.

5. Так как $ \angle ABC = \angle ADC $ (из п. 2), то и их половины равны: $ \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC $. Из этого следует, что $ \angle ABE = \angle CDF $.

6. Другим свойством параллелограмма является параллельность противолежащих сторон. Следовательно, $AB \parallel CD$.

7. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $ \angle BAC = \angle DCA $.

8. Из рисунка видно, что точки $E$ и $F$ лежат на диагонали $AC$. Поэтому $ \angle BAE $ — это тот же угол, что и $ \angle BAC $, а $ \angle DCF $ — это тот же угол, что и $ \angle DCA $. Таким образом, из равенства в п. 7 следует, что $ \angle BAE = \angle DCF $.

9. Теперь рассмотрим треугольники $ \Delta ABE $ и $ \Delta CDF $. Сравним их элементы:
- $AB = CD$ (по условию задачи).
- $ \angle ABE = \angle CDF $ (доказано в п. 5).
- $ \angle BAE = \angle DCF $ (доказано в п. 8).

10. Таким образом, треугольник $ \Delta ABE $ равен треугольнику $ \Delta CDF $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \Delta ABE = \Delta CDF $.

11.14. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если у них равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$, медианы $CM$ и $C_1M_1$ (рис. 11.16).

Рис. 11.16

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. $AB = A_1B_1$.
3. $AC = A_1C_1$.
4. $CM$ — медиана $\triangle ABC$ к стороне $AB$.
5. $C_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$ к стороне $A_1B_1$.
6. $CM = C_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $AMC$ и $A_1M_1C_1$. По условию нам известно, что $AC = A_1C_1$ и $CM = C_1M_1$.

2. Поскольку $CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как $C_1M_1$ — медиана треугольника $A_1B_1C_1$ к стороне $A_1B_1$, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

3. Из условия задачи известно, что $AB = A_1B_1$. Отсюда следует, что половины этих сторон также равны: $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}A_1B_1 = A_1M_1$.

4. Таким образом, в треугольниках $AMC$ и $A_1M_1C_1$ три стороны соответственно равны: $AC = A_1C_1$ (по условию), $CM = C_1M_1$ (по условию), $AM = A_1M_1$ (по доказанному выше). Следовательно, $\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

5. Из равенства треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. Эти углы являются углами $\angle A$ и $\angle A_1$ в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Значит, $\angle A = \angle A_1$.

6. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному выше)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано на основании признака равенства по двум сторонам и углу между ними.