Страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.21. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник $ABC$, в котором отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно биссектрисой угла $\angle B$ и высотой, опущенной на сторону $AC$. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что его стороны $AB$ и $BC$ равны.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Поскольку $BD$ является биссектрисой, по определению она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Поскольку $BD$ является высотой, по определению она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, углы, которые она образует со стороной $AC$, являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Сторона $BD$ является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У них общая сторона $BD$, и прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle BDA = \angle BDC$.

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle CBD$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BDA$. Сторона $BC$ в $\triangle CBD$ лежит напротив равного ему угла $\angle BDC$. Следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник.

Ответ: Доказано, что если в треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

высотой, то треугольник равнобедренный.

10.22. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведем медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$.

Необходимо доказать, что длины этих медиан равны, то есть $AM = CN$.

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$.

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $CB$ треугольника $\triangle CBN$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. Так как $AM$ и $CN$ — медианы, они делят стороны, к которым проведены, пополам. То есть $N$ — середина $AB$, а $M$ — середина $BC$. Отсюда следует, что $BN = \frac{1}{2}AB$ и $BM = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $BN = BM$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ две стороны и угол между ними соответственно равны: $AB = CB$, $BM = BN$, и угол $\angle B$ — общий. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABM \cong \triangle CBN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае, сторона $AM$ из $\triangle ABM$ соответствует стороне $CN$ из $\triangle CBN$. Значит, $AM = CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

10.23. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ является основанием. Проведем биссектрису $AD$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$ и биссектрису $CE$ из вершины $C$ к боковой стороне $AB$. Нам необходимо доказать, что длины этих биссектрис равны, то есть $AD = CE$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный с основанием $AC$, то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

2. По определению, биссектриса делит угол пополам. $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, следовательно, $\angle DAC = \angle EAD = \frac{1}{2} \angle BAC$. Аналогично, $CE$ — биссектриса угла $\angle BCA$, следовательно, $\angle ECA = \angle BCE = \frac{1}{2} \angle BCA$.

3. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то и половины этих углов равны: $\angle DAC = \angle ECA$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$.
У них:
- $\angle DAC = \angle ECA$ (из пункта 3).
- $\angle DCA = \angle EAC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle ABC$).
- $AC$ — общая сторона.

5. Таким образом, $\triangle ADC = \triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ADC$ сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle DCA$. В $\triangle CEA$ сторона $CE$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Так как $\angle DCA = \angle EAC$, то и противолежащие им стороны равны: $AD = CE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, доказано.

10.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. Найдите ее длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 м, а периметр треугольника $ABD$ равен 40 м.

Для решения задачи воспользуемся определениями периметра треугольника, равнобедренного треугольника и медианы.

1. Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, что означает равенство его боковых сторон: $AB = BC$. Таким образом, периметр можно выразить как $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$. Согласно условию, $P_{ABC} = 50$ м, следовательно:

$2 \cdot AB + AC = 50$

2. $BD$ — медиана, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $AC$, и $AD = DC$. Это позволяет выразить длину основания $AC$ через длину отрезка $AD$: $AC = AD + DC = 2 \cdot AD$.

3. Подставим выражение $AC = 2 \cdot AD$ в формулу периметра треугольника $ABC$ из пункта 1:

$2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (AB + AD) = 50$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон $AB$ и $AD$:

$AB + AD = 25$ м.

4. Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$. По условию задачи, $P_{ABD} = 40$ м.

$AB + AD + BD = 40$

5. В предыдущем шаге мы нашли, что сумма $AB + AD$ равна 25 м. Подставим это значение в формулу для периметра треугольника $ABD$:

$25 + BD = 40$

Чтобы найти длину медианы $BD$, вычтем 25 из 40:

$BD = 40 - 25$

$BD = 15$ м.

Ответ: 15 м.

Подготовьте сообщение

10.25. Треугольник — одна из первых геометрических фигур, известных еще с глубокой древности.

Треугольник — простейший многоугольник и одна из фундаментальных фигур в геометрии. Его уникальные свойства и практическое применение были замечены и использованы человечеством еще в глубокой древности. История изучения треугольника тесно переплетена с историей развития математики, инженерии и даже философии, начиная от практических задач древних цивилизаций и заканчивая сложнейшими современными технологиями.

Первые документальные свидетельства использования знаний о треугольниках относятся к цивилизациям Древнего Египта и Вавилона. Египетские землемеры и строители, которых называли «гарпедонаптами» («натягивателями веревки»), использовали для построения прямых углов веревку с узлами, делящими ее на 12 равных частей. Складывая из нее треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц, они получали прямоугольный треугольник. Этот «египетский треугольник» является частным случаем теоремы, которая позже станет известна как теорема Пифагора. В то же время, вавилонские глиняные таблички, например, Плимптон 322, свидетельствуют о том, что вавилоняне знали о пифагоровых тройках задолго до Пифагора и использовали их для расчетов.

Систематическое и теоретическое изучение треугольника началось в Древней Греции, где геометрия из набора практических рецептов превратилась в строгую логическую науку. Фалес Милетский (около 624–546 гг. до н.э.) считается одним из первых математиков, давших доказательства геометрическим утверждениям. Ему приписывают доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, а также использование свойств подобных треугольников для измерения высоты пирамид и расстояния до кораблей в море. Огромный вклад внесла школа Пифагора Самосского (около 570–495 гг. до н.э.), сформулировавшая и доказавшая знаменитую теорему о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы. Вершиной древнегреческой геометрии стали «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.), где были систематизированы все знания о геометрии. Евклид сформулировал и доказал основные теоремы о треугольниках, включая признаки их равенства и тот факт, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

На основе геометрии треугольника зародилась и развилась тригонометрия — раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. Это позволило расширить применение знаний о треугольниках на фигуры произвольной формы. Были доказаны теорема синусов ($ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $) и теорема косинусов ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$), которые являются фундаментальными для решения любых треугольников.

Значение треугольника не уменьшилось и в современном мире. Его ключевые применения включают:

Инженерия и архитектура: Треугольник является жесткой конструкцией, то есть не меняет свою форму под действием нагрузок. Это свойство делает его незаменимым элементом в строительстве мостов, башен, крыш и других несущих конструкций (треугольные фермы).

Геодезия и навигация: Метод триангуляции, основанный на построении сети треугольников, позволяет с высокой точностью определять положение объектов на местности. Этот принцип лежит в основе создания карт, а также работы глобальных навигационных систем, таких как GPS.

Компьютерная графика: Любой трехмерный объект в виртуальном пространстве, от персонажа в игре до сложной модели в кино, представляется в виде полигональной сетки, состоящей из тысяч или миллионов соединенных между собой треугольников. Это позволяет эффективно производить расчеты освещения, текстур и анимации.

Символизм: Помимо научного и технического применения, треугольник на протяжении всей истории человечества был мощным символом, олицетворяющим устойчивость, гармонию, божественное начало (например, Троица в христианстве) и стихии.

Ответ: Представлено сообщение о треугольнике, в котором раскрывается его историческое значение как одной из первых геометрических фигур, известных с древности, и показана его фундаментальная роль в развитии математики, науки и современных технологий.

10.26. Равнобедренные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

В папирусе Ахмеса (также известном как папирус Райнда), датируемом примерно 1550 г. до н.э., содержится ряд математических задач. Среди них есть задачи, посвященные вычислению площадей геометрических фигур, в том числе треугольников, которые, судя по сопроводительным рисункам, являются равнобедренными.

Задача 51: Вычисление площади треугольника

В этой задаче предлагается найти площадь треугольного поля. Хотя в тексте не уточняется тип треугольника, прилагаемый к задаче рисунок изображает именно равнобедренный треугольник.
Условие задачи: «Пример вычисления треугольника. Если сказано тебе: треугольник в 10 хет высоты его и в 4 хета основания его, какова его площадь?» (Хет — древнеегипетская мера длины, равная примерно 52,5 м).

Решение, предложенное в папирусе: «Ты должен взять половину от 4, то есть 2. Ты должен умножить 10 на 2. Это и есть его площадь».
Этот метод полностью соответствует современной формуле площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$, где $b$ — основание, а $h$ — высота.
Расчет: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 2 \cdot 10 = 20$.
Египетский метод можно интерпретировать как мысленное разрезание треугольника по высоте на два прямоугольных треугольника и составление из них прямоугольника со сторонами $h$ и $\frac{b}{2}$. Для равнобедренного треугольника такая операция наиболее наглядна.
Ответ: Площадь треугольника составляет 20 квадратных хет.

Задача 52: Вычисление площади усеченного треугольника (трапеции) Эта задача посвящена нахождению площади фигуры, названной «усеченным треугольником», которая представляет собой трапецию. Рисунок в папирусе также изображает равнобедренную трапецию.
Условие задачи: «Пример вычисления усеченного треугольника. Если сказано тебе: усеченный треугольник в 20 хет высоты его, 6 хет основания его и 4 хета на его усеченной линии, какова его площадь?»

Решение, предложенное в папирусе: «Ты должен сложить его основание с усеченной линией; это составит 10. Ты должен взять половину от 10, то есть 5. Ты должен умножить 20 на 5; это составит 100. Это его площадь».
Этот метод соответствует современной формуле площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
Расчет: $S = \frac{4+6}{2} \cdot 20 = \frac{10}{2} \cdot 20 = 5 \cdot 20 = 100$.
Ответ: Площадь усеченного треугольника составляет 100 квадратных хет.

Таким образом, папирус Ахмеса содержит задачи, которые, по всей видимости, рассматривают частные случаи равнобедренных треугольников и трапеций для демонстрации общих и правильных методов вычисления их площадей, известных древним египтянам.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

10.27. Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

Нет, не обязательно. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, это не является достаточным условием для их равенства.

Для того чтобы треугольники были равны, необходимо выполнение одного из признаков равенства треугольников. Например, признак по двум сторонам и углу между ними (SAS) требует, чтобы, помимо равенства двух сторон, были равны и углы, заключённые между этими сторонами. Другой признак, по трём сторонам (SSS), требует равенства всех трёх сторон. В условии задачи не сказано ни о равенстве углов между заданными сторонами, ни о равенстве третьих сторон, поэтому делать вывод о равенстве треугольников нельзя.

Пример:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых равны по две стороны, но сами треугольники не равны.

Пусть в $\triangle ABC$ стороны $AB = 7$ и $AC = 5$, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$.

А в $\triangle A'B'C'$ стороны $A'B' = 7$ и $A'C' = 5$, но угол между ними $\angle A' = 90^\circ$.

В данном примере у треугольников есть две пары соответственно равных сторон ($AB = A'B'$ и $AC = A'C'$), но углы между этими сторонами различны ($\angle A \neq \angle A'$). Вследствие этого третьи стороны $BC$ и $B'C'$ также не будут равны, а значит, и сами треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ не равны.

Ответ: Нет, не обязательно.