Номер 10.22, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 10. Равнобедренные треугольники. Глава 2. Треугольники - номер 10.22, страница 61.

Условие.

высотой, то треугольник равнобедренный.

10.22. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведем медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$.

Необходимо доказать, что длины этих медиан равны, то есть $AM = CN$.

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$.

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $CB$ треугольника $\triangle CBN$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. Так как $AM$ и $CN$ — медианы, они делят стороны, к которым проведены, пополам. То есть $N$ — середина $AB$, а $M$ — середина $BC$. Отсюда следует, что $BN = \frac{1}{2}AB$ и $BM = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $BN = BM$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ две стороны и угол между ними соответственно равны: $AB = CB$, $BM = BN$, и угол $\angle B$ — общий. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABM \cong \triangle CBN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае, сторона $AM$ из $\triangle ABM$ соответствует стороне $CN$ из $\triangle CBN$. Значит, $AM = CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.