Номер 10.15, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.15. На рисунке 10.17 $AD = AE$, угол $\angle CAD$ равен углу $\angle BAE$. Докажите, что $BD = CE$.

Рис. 10.17

Дано: На рисунке даны точки $A, B, C, D, E$. Известно, что $AD = AE$ и $\angle CAD = \angle BAE$. Точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой.

Доказать: $BD = CE$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ADE$. По условию $AD = AE$, следовательно, треугольник $ADE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ADE = \angle AED$. Так как точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой, эти же углы можно обозначить как $\angle ADB = \angle AEC$.

2. По условию задачи дано равенство углов $\angle CAD = \angle BAE$. Угол $\angle CAD$ можно представить как сумму двух углов: $\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD$. Аналогично, угол $\angle BAE$ можно представить как сумму углов $\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE$.

3. Подставим эти выражения в данное равенство: $\angle CAB + \angle BAD = \angle BAC + \angle CAE$. Угол $\angle BAC$ (или $\angle CAB$) является общим для обеих частей равенства. Вычитая его из обеих частей, получаем: $\angle BAD = \angle CAE$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. Сравним их, используя признаки равенства треугольников:

- $AD = AE$ (по условию).

- $\angle ADB = \angle AEC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$, доказано в п. 1).

- $\angle BAD = \angle CAE$ (доказано в п. 3).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

5. Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle ACE$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов. Сторона $BD$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BAD$. Сторона $CE$ в $\triangle ACE$ лежит напротив равного ему угла $\angle CAE$. Следовательно, $BD = CE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BD = CE$ доказано.