Номер 10.9, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. На сторонах правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$, $BE$ и $CF$. Точки $D$, $E$ и $F$ соединены отрезками (рис. 10.13). Докажите, что треугольник $DEF$ правильный.

Рис. 10.13

Для доказательства того, что треугольник $DEF$ является правильным, нам нужно показать, что все его стороны равны, то есть $DE = EF = FD$.

Рассмотрим три треугольника, образовавшихся в углах исходного треугольника $ABC$: $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.

1. Анализ исходных данных.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Это означает, что все его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$).
Также по условию на сторонах отложены равные отрезки $AD = BE = CF$.

2. Сравнение треугольников $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.
Мы будем использовать первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Найдем длины сторон этих трех треугольников, лежащих на сторонах треугольника $ABC$.
Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.
Пусть длина равных отрезков равна $x$, то есть $AD = BE = CF = x$.

• Для треугольника $\triangle ADF$:
  Сторона $AD = x$ (по условию).
  Точка $F$ лежит на стороне $AC$, значит, длина стороны $AF$ равна $AF = AC - CF = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle A = 60^\circ$.
• Для треугольника $\triangle BED$:
  Сторона $BE = x$ (по условию).
  Точка $D$ лежит на стороне $AB$, значит, длина стороны $BD$ равна $BD = AB - AD = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle B = 60^\circ$.
• Для треугольника $\triangle CFE$:
  Сторона $CF = x$ (по условию).
  Точка $E$ лежит на стороне $BC$, значит, длина стороны $CE$ равна $CE = BC - BE = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle C = 60^\circ$.

3. Доказательство равенства треугольников.
Сравнивая три треугольника, мы видим, что:
$AD = BE = CF = x$
$AF = BD = CE = a - x$
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$
Таким образом, треугольники $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
$\triangle ADF \cong \triangle BED \cong \triangle CFE$.

4. Вывод.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Третьи стороны этих треугольников — это $FD$, $DE$ и $EF$. Следовательно:
$FD = DE = EF$.
Поскольку все стороны треугольника $DEF$ равны, он является правильным (равносторонним).

Ответ: Что и требовалось доказать.