Номер 10.7, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.7. На рисунке 10.11 $AB = AC$ и $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $\angle 3 = \angle 4$.

Рис. 10.11

Дано:

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = AC$. Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$. Углы обозначены цифрами: $\angle CAD = \angle 1$, $\angle BAE = \angle 2$, $\angle ADC = \angle 3$, $\angle AEB = \angle 4$. Дано, что $\angle 1 = \angle 2$.

Доказать:

$\angle 3 = \angle 4$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = AC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$. Сравним их элементы:

- $AB = AC$ (по условию задачи).

- $\angle ABE = \angle ACD$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$, что было показано в п. 2).

- $\angle BAE = \angle CAD$ (так как по условию $\angle 2 = \angle 1$).

4. Таким образом, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$ равны по стороне и двум углам (признак AAS, Angle-Angle-Side). Запишем это как $\triangle ABE \cong \triangle ACD$.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их соответствующие углы. Углу $\angle AEB$ в треугольнике $\triangle ABE$ соответствует угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ACD$.

6. Следовательно, $\angle AEB = \angle ADC$.

7. Согласно обозначениям на рисунке, $\angle 4$ — это угол $\angle AEB$, а $\angle 3$ — это угол $\angle ADC$. Значит, мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle 3 = \angle 4$ доказано.