Номер 10.4, страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.4. Изобразите какой-нибудь равнобедренный прямоугольный треугольник, одной стороной которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.8).

а)

б)

Рис. 10.8

а) Для построения равнобедренного прямоугольного треугольника, одной из сторон которого является отрезок $AB$, необходимо рассмотреть два случая: отрезок $AB$ является катетом или гипотенузой.

Введем систему координат, приняв сторону клетки сетки за единицу. Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Тогда точка $B$ будет иметь координаты $(3, 2)$, так как для перемещения из $A$ в $B$ нужно сдвинуться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Найдем квадрат длины отрезка $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Случай 1: $AB$ — гипотенуза.

Если $AB$ — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$, то его катеты $AC$ и $BC$ равны. По теореме Пифагора, $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Так как $AC = BC$, то $2 \cdot AC^2 = 13$, откуда $AC^2 = 6.5$. Длина отрезка, соединяющего два узла сетки, в квадрате всегда является целым числом (как сумма квадратов целых чисел). Поскольку $6.5$ не является целым числом, точка $C$ не может находиться в узле сетки. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $AB$ — катет.

Если $AB$ — катет, то прямой угол может быть либо при вершине $A$, либо при вершине $B$.

Если прямой угол находится в вершине $A$, то второй катет $AC$ должен быть равен и перпендикулярен катету $AB$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(3, 2)$. Перпендикулярный ему вектор такой же длины можно получить, поменяв координаты местами и изменив знак одной из них. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ может иметь координаты $(-2, 3)$ или $(2, -3)$.

Если прямой угол находится в вершине $B$, то второй катет $BC$ должен быть равен и перпендикулярен катету $BA$. Вектор $\vec{BA}$ имеет координаты $(-3, -2)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(2, -3)$ и $(-2, 3)$.

Мы можем выбрать любой из этих вариантов для построения. Выберем вариант, где прямой угол находится в вершине $B$, а вектор $\vec{BC}$ имеет координаты $(-2, 3)$. Это означает, что для нахождения точки $C$ нужно от точки $B$ отступить на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх.

Ответ:

б) Аналогично пункту а), рассмотрим два случая для отрезка $AB$.

Примем сторону клетки за единицу. В данном случае отрезок $AB$ горизонтален. Пусть $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Тогда $B$ имеет координаты $(3, 0)$. Квадрат длины отрезка $AB$ равен:

$AB^2 = 3^2 + 0^2 = 9$.

Случай 1: $AB$ — гипотенуза.

Если $AB$ — гипотенуза, то для катетов $AC$ и $BC$ должно выполняться $2 \cdot AC^2 = AB^2$. Тогда $2 \cdot AC^2 = 9$, и $AC^2 = 4.5$. Поскольку $4.5$ не является целым числом, точка $C$ не может находиться в узле сетки. Этот случай невозможен.

Случай 2: $AB$ — катет.

Если $AB$ — катет, то прямой угол может быть при вершине $A$ или $B$.

Если прямой угол в вершине $A$, то катет $AC$ перпендикулярен $AB$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(3, 0)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Это означает, что точку $C$ можно найти, сместившись из точки $A$ на 3 клетки вверх или на 3 клетки вниз.

Если прямой угол в вершине $B$, то катет $BC$ перпендикулярен $BA$. Вектор $\vec{BA}$ имеет координаты $(-3, 0)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Точку $C$ можно найти, сместившись из точки $B$ на 3 клетки вверх или на 3 клетки вниз.

Выберем вариант, где прямой угол находится в вершине $A$, а точка $C$ расположена выше отрезка $AB$. Для этого от точки $A$ отступим на 3 клетки вверх.

Ответ: