Номер 9.18, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.18. По рисунку 9.18 объясните, как можно найти расстояние от точки А до недоступной точки B, например дерева на острове.

Рис. 9.18

Чтобы найти расстояние от доступной точки А до недоступной точки В, можно использовать метод, основанный на равенстве треугольников. Суть метода заключается в построении на доступной местности треугольника, равного воображаемому треугольнику АВС, одна из сторон которого является искомым расстоянием.

Порядок действий на местности:

1. Из точки А провешиваем (прокладываем) прямую линию перпендикулярно направлению на точку В. Для этого с помощью угломерного инструмента (например, эккера или теодолита) откладываем угол $ \angle BAC = 90^\circ $.

2. Двигаемся по этой прямой на некоторое расстояние и отмечаем точку С. Измеряем длину отрезка АС.

3. В точке С измеряем угол $ \angle BCA $, образованный направлением на точку В и отрезком СА.

4. Теперь строим второй треугольник. В точке С откладываем от отрезка СА угол $ \angle ACD = 90^\circ $ в полуплоскость, противоположную той, где находится точка В.

5. В точке А откладываем от отрезка АС угол $ \angle CAD $, равный ранее измеренному углу $ \angle BCA $.

6. Лучи, построенные в шагах 4 и 5, пересекутся в некоторой точке D.

7. Измеряем расстояние CD. Это расстояние будет равно искомому расстоянию AB.

Обоснование этого метода строится на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $:

- Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.

- Угол $ \angle BAC = \angle ACD = 90^\circ $ по построению.

- Угол $ \angle BCA = \angle CAD $ по построению.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $ \triangle ABC = \triangle CDA $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AB $, лежащая против угла $ \angle BCA $, равна стороне $ CD $, лежащей против равного ему угла $ \angle CAD $.

Следовательно, $ AB = CD $. Так как точки С и D доступны, расстояние между ними можно измерить рулеткой или дальномером.

Ответ: Необходимо на местности построить треугольник CDA, равный треугольнику ABC, в соответствии с описанным алгоритмом. Искомое расстояние AB будет равно длине отрезка CD, который можно измерить напрямую.