Номер 9.14, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.14. На рисунке 9.14 треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ равны.

Отрезки $CD$ и $C_1 D_1$ образуют со сторонами соответственно $CB$ и $C_1 B_1$ равные углы.

Докажите, что $AD = A_1 D_1$.

Рис. 9.14

Дано:

$ΔABC = ΔA_1B_1C_1$. Отрезки $CD$ и $C_1D_1$. $∠BCD = ∠B_1C_1D_1$.

Доказать:

$AD = A_1D_1$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $A_1D_1$ рассмотрим треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$.

1. Поскольку по условию $ΔABC = ΔA_1B_1C_1$, то их соответствующие стороны и углы равны. Следовательно:

- $AC = A_1C_1$ (как соответствующие стороны).

- $∠A = ∠A_1$ (как соответствующие углы). Так как точки $D$ и $D_1$ лежат на сторонах $AB$ и $A_1B_1$ соответственно, то $∠CAD = ∠C_1A_1D_1$.

- $∠ACB = ∠A_1C_1B_1$ (как соответствующие углы).

2. По условию задачи нам дано, что $∠BCD = ∠B_1C_1D_1$.

3. Найдем углы $ACD$ и $A_1C_1D_1$. Угол $ACD$ является разностью углов $ACB$ и $BCD$. То есть:

$∠ACD = ∠ACB - ∠BCD$.

Аналогично для второго треугольника:

$∠A_1C_1D_1 = ∠A_1C_1B_1 - ∠B_1C_1D_1$.

Так как $∠ACB = ∠A_1C_1B_1$ и $∠BCD = ∠B_1C_1D_1$, мы вычитаем равные углы из равных углов. Следовательно, полученные в результате вычитания углы также равны:

$∠ACD = ∠A_1C_1D_1$.

4. Теперь сравним треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$. У них:

- $AC = A_1C_1$ (из пункта 1).

- $∠CAD = ∠C_1A_1D_1$ (из пункта 1).

- $∠ACD = ∠A_1C_1D_1$ (из пункта 3).

Таким образом, треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

$ΔACD = ΔA_1C_1D_1$.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AD = A_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = A_1D_1$ доказано на основании равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ по второму признаку (сторона и два прилежащих угла).