Номер 9.7, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.7. На рисунке 9.8 изображена фигура, у которой $AD = CF$, угол $\angle BAC$ равен углу $\angle EDF$, угол $\angle 1$ равен углу $\angle 2$. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ равны.

Рис. 9.8

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $DEF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно доказать равенство одной стороны и двух прилежащих к ней углов у данных треугольников.

Сначала докажем, что сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна стороне $DF$ треугольника $DEF$. Сторона $AC$ состоит из отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Сторона $DF$ состоит из отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$. По условию задачи, $AD = CF$. Подставим это равенство в выражение для стороны $AC$: $AC = CF + DC$. Сравнивая полученное выражение с выражением для $DF$, видим, что $AC = DF$.

Теперь рассмотрим углы треугольников. По условию, $\angle BAC = \angle EDF$. Это первая пара равных прилежащих углов.

Далее, рассмотрим углы $\angle BCA$ и $\angle DFE$. Угол 1 и угол $BCA$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $AF$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - \angle 1$. Аналогично, угол 2 и угол $DFE$ являются смежными, поэтому $\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$. По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Отсюда следует, что $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$, а значит $\angle BCA = \angle DFE$. Это вторая пара равных прилежащих углов.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $DEF$ имеются равные элементы: сторона $AC$ равна стороне $DF$, прилежащий к ней угол $\angle BAC$ равен углу $\angle EDF$, и другой прилежащий угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DFE$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны, что и требовалось доказать.