Номер 9.13, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие биссектрисы.

Пусть даны два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Из того, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, следует равенство их соответственных элементов (сторон и углов):
$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведем в этих треугольниках соответственные биссектрисы $AD$ и $A_1D_1$ из вершин $A$ и $A_1$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $AD = A_1D_1$.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно:
$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$
$\angle B_1A_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1A_1C_1$
Поскольку $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (из равенства исходных треугольников), то и половины этих углов равны: $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Сравним их элементы:
1. $\angle B = \angle B_1$ (как соответственные углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
2. $AB = A_1B_1$ (как соответственные стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
3. $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ (как половины соответственных равных углов).

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам: сторона $AB$ и углы $\angle B$ и $\angle BAD$).

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AD$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle B$. Сторона $A_1D_1$ в $\triangle A_1B_1D_1$ лежит напротив угла $\angle B_1$. Так как $\angle B = \angle B_1$, то стороны $AD$ и $A_1D_1$ являются соответственными, а значит, равными.
Следовательно, $AD = A_1D_1$.

Аналогичным образом можно доказать равенство биссектрис, проведенных из двух других пар соответственных вершин ($B$ и $B_1$; $C$ и $C_1$).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках соответственные биссектрисы равны.