Номер 9.10, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.10. На рисунке 9.11 лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $\angle 1$ равен $\angle 2$, $OC = OD$. Докажите, что $\angle A$ равен $\angle B$.

Рис. 9.11

Для доказательства равенства углов $ \angle A $ и $ \angle B $ рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

В этих треугольниках:

1. $ \angle AOC = \angle BOD $ как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AD$ и $BC$ в точке $O$.

2. $ OC = OD $ по условию задачи.

3. $ \angle 1 = \angle 2 $ по условию, что согласно рисунку означает $ \angle ACO = \angle BDO $.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника (сторона $OC$ и углы $ \angle AOC $ и $ \angle ACO $ в $ \triangle AOC $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника (сторона $OD$ и углы $ \angle BOD $ и $ \angle BDO $ в $ \triangle BOD $).

Следовательно, $ \triangle AOC = \triangle BOD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Угол $ \angle A $ (он же $ \angle OAC $) в треугольнике $ \triangle AOC $ является соответствующим углу $ \angle B $ (он же $ \angle OBD $) в треугольнике $ \triangle BOD $.

Значит, $ \angle A = \angle B $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $ \angle A $ и $ \angle B $ доказано на основе равенства треугольников $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $ по второму признаку.