Номер 9.12, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.12. На рисунке 9.13 $\angle 1$ равен $\angle 2$, $\angle 3$ равен $\angle 4$. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны. Найдите $AB$ и $BC$, если $AD = 19$ см, $CD = 11$ см.

Рис. 9.13

Докажите, что треугольники ABC и CDA равны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Для доказательства их равенства используем второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. $∠BCA = ∠CAD$, так как по условию задачи $∠1 = ∠2$.

2. $∠BAC = ∠DCA$, так как по условию задачи $∠4 = ∠3$.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $∠BCA$ и $∠BAC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($CA$, $∠CAD$ и $∠DCA$), то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны.

Следовательно, $△ABC = △CDA$. Что и требовалось доказать.

Найдите AB и BC, если AD = 19 см, CD = 11 см.

Из доказанного в предыдущем пункте равенства треугольников $△ABC = △CDA$ следует равенство их соответствующих сторон. Соответствие вершин следующее: $A↔C$, $B↔D$, $C↔A$.

Это означает, что:

- Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна соответствующей ей стороне $CD$ треугольника $CDA$.

- Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна соответствующей ей стороне $DA$ треугольника $CDA$.

По условию задачи нам даны длины сторон: $AD = 19$ см и $CD = 11$ см.

Таким образом, мы можем найти длины искомых сторон:

$AB = CD = 11$ см.

$BC = DA = AD = 19$ см.

Ответ: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.