Номер 9.5, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.5. На рисунке 9.6 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 9.6

Дано:

Четырехугольник $ABCD$, в котором проведена диагональ $AC$.

$\angle 1 = \angle 2$ (что соответствует $\angle BAC = \angle DAC$).

$\angle 3 = \angle 4$ (что соответствует $\angle BCA = \angle DCA$).

Доказать:

$AB = AD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, образованные диагональю $AC$.

Сравним эти два треугольника:

1. Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$ ($\angle 1 = \angle 2$ по условию).

2. Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$ ($\angle 3 = \angle 4$ по условию).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle ABC \cong \triangle ADC$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$ (угла 3), а сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$ (угла 4). Так как $\angle 3 = \angle 4$, то и противолежащие им стороны в равных треугольниках равны. Также, сторона $AB$ соответствует стороне $AD$, так как они прилегают к равным углам $\angle BAC$ и $\angle DAC$ и противолежат равным углам $\angle BCA$ и $\angle DCA$.

Следовательно, $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AB = AD$ доказано.