Номер 8.19, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.19. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

Нет, эти треугольники не обязательно будут равны. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными, но не обязательно равными.

Равенство двух углов гарантирует и равенство третьего угла, так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Тогда третий угол $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$ и $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$, откуда следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Треугольники, у которых соответственные углы равны, называются подобными. Для того чтобы треугольники были равны (конгруэнтны), необходимо, чтобы помимо равенства углов, была равна хотя бы одна пара соответственных сторон (например, по признаку равенства "сторона и два прилежащих к ней угла" или "сторона и два любых угла"). Если информация о сторонах отсутствует, мы не можем утверждать, что треугольники равны.

Пример:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ и $\angle A = \angle A_1 = 30^\circ$. Условие о равенстве двух углов соблюдается.

Тогда и третьи углы будут равны: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ и $\angle B_1 = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Все углы этих треугольников соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Однако, их стороны могут иметь разную длину. Пусть катет, лежащий против угла в $30^\circ$ в $\triangle ABC$, равен $BC = 5$ см. Тогда гипотенуза $AB = 10$ см, а катет $AC = 5\sqrt{3}$ см.

А в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$ пусть катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен $B_1C_1 = 7$ см. Тогда гипотенуза $A_1B_1 = 14$ см, а катет $A_1C_1 = 7\sqrt{3}$ см.

Очевидно, что стороны треугольников не равны, а значит и сами треугольники не равны, хотя два (и даже три) их угла соответственно равны. На рисунке ниже показаны два таких подобных, но не равных треугольника.

Ответ: Нет, треугольники не обязательно будут равны. Они будут подобны.