Номер 8.17, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.17. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками $A$ и $B$, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 8.13), выбирают какую-нибудь точку $C$, для которой можно измерить расстояния $AC$ и $BC$, и откладывают отрезки $CD = AC$ и $CE = BC$. Тогда расстояние между точками $E$ и $D$ будет равно искомому расстоянию. Объясните, почему.

Данный метод измерения расстояния основан на принципе равенства треугольников. Рассмотрим построение, описанное в задаче, и докажем, что расстояние $ED$ равно расстоянию $AB$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате построений: $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$.

1. По условию задачи, отрезки откладываются таким образом, что $CD = AC$ и $CE = BC$. Это означает, что две стороны одного треугольника ($\triangle DEC$) равны двум сторонам другого треугольника ($\triangle ABC$).

2. Точки $A$, $C$, $D$ лежат на одной прямой. Аналогично, точки $B$, $C$, $E$ лежат на одной прямой. Углы $\angle ACB$ и $\angle DCE$ образованы пересечением этих двух прямых. Такие углы называются вертикальными, и по свойству вертикальных углов они равны: $\angle ACB = \angle DCE$.

3. Таким образом, мы имеем два треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle DEC$), у которых две стороны и угол между ними соответственно равны:

- $AC = DC$ (по построению)

- $BC = EC$ (по построению)

- $\angle ACB = \angle DCE$ (как вертикальные углы)

4. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

5. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, включая стороны. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle ACB$. Сторона $DE$ в треугольнике $\triangle DEC$ лежит напротив равного ему угла $\angle DCE$. Значит, эти стороны являются соответствующими, и их длины равны: $AB = DE$.

Именно поэтому, измерив на местности легкодоступное расстояние $DE$, можно узнать искомое расстояние $AB$.

Ответ: Расстояние $ED$ равно искомому расстоянию $AB$, так как треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DEC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам $AC=DC$, $BC=EC$ и углу между ними $\angle ACB = \angle DCE$).