Номер 8.14, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.14. Три деревни $A$, $B$, $C$ расположены так, что деревня $B$ находится в 15 км к югу от $A$, а деревня $C$ — в 7 км к северо-востоку от $B$. Три другие деревни $M$, $N$ и $K$ расположены так, что деревня $N$ находится в 15 км к западу от $M$, а деревня $K$ — в 7 км к северо-западу от $M$. Сравните расстояния между деревнями $A$, $C$ и $N$, $K$.

Для решения задачи мы можем смоделировать расположение деревень как вершины двух треугольников и доказать их равенство. Это позволит нам сравнить искомые расстояния, не вычисляя их точные значения.

1. Расположение деревень A, B, C

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный деревнями A, B и C.
Из условия известно, что деревня B находится в 15 км к югу от A. Следовательно, расстояние между A и B равно 15 км. Это сторона $AB$ треугольника.
$AB = 15$ км.
Деревня C находится в 7 км к северо-востоку от B. Следовательно, расстояние между B и C равно 7 км. Это сторона $BC$ треугольника.
$BC = 7$ км.
Найдём угол $\angle ABC$ между сторонами $AB$ и $BC$. Если смотреть из точки B, направление на A — это север. Направление на C — северо-восток. Угол между направлениями на север и на северо-восток составляет $45^\circ$.
Таким образом, угол в треугольнике $ABC$ при вершине B равен $45^\circ$: $\angle ABC = 45^\circ$.

2. Расположение деревень M, N, K

Рассмотрим треугольник $NMK$, образованный деревнями M, N и K.
Из условия известно, что деревня N находится в 15 км к западу от M. Следовательно, расстояние между M и N равно 15 км. Это сторона $NM$ треугольника.
$NM = 15$ км.
Деревня K находится в 7 км к северо-западу от M. Следовательно, расстояние между M и K равно 7 км. Это сторона $MK$ треугольника.
$MK = 7$ км.
Найдём угол $\angle NMK$ между сторонами $NM$ и $MK$. Если смотреть из точки M, направление на N — это запад. Направление на K — северо-запад. Угол между направлениями на запад и на северо-запад составляет $45^\circ$.
Таким образом, угол в треугольнике $NMK$ при вершине M равен $45^\circ$: $\angle NMK = 45^\circ$.

3. Сравнение расстояний AC и NK

Сравним треугольники $ABC$ и $NMK$.
У них есть две пары соответственно равных сторон:
$AB = NM = 15$ км,
$BC = MK = 7$ км.
Углы между этими сторонами в обоих треугольниках также равны:
$\angle ABC = \angle NMK = 45^\circ$.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABC$ равен треугольнику $NMK$ ($\Delta ABC \cong \Delta NMK$).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ABC$. Сторона $NK$ лежит напротив угла $\angle NMK$. Поскольку $\angle ABC = \angle NMK$, то и противолежащие им стороны равны:
$AC = NK$.

Ответ: Расстояния между деревнями A, C и N, K равны.