Страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.9. На рисунке 8.7 $AE = AD = 2 \text{ см}$, $BE = CD = 3 \text{ см}$, $BD = 4 \text{ см}$.

Найдите CE.

Рис. 8.7

По условию задачи даны длины следующих отрезков: $AE = AD = 2$ см, $BE = CD = 3$ см и $BD = 4$ см.

Найдем длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Точки $E$ и $D$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно.

Длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AE$ и $EB$: $AB = AE + EB = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Аналогично, длина стороны $AC$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DC$: $AC = AD + DC = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\Delta ABD$ и $\Delta ACE$. Сравним их элементы. Во-первых, $AB = AC = 5$ см. Во-вторых, $AD = AE = 2$ см. В-третьих, угол $\angle A$ является общим для этих двух треугольников.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($\Delta ABD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\Delta ACE$), эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников $\Delta ABD \cong \Delta ACE$ следует равенство их соответственных сторон. Стороны $BD$ и $CE$ лежат напротив общего угла $\angle A$, следовательно, они равны: $CE = BD$.

Из условия известно, что $BD = 4$ см. Таким образом, длина искомого отрезка $CE$ также составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

8.10. На рисунке 8.8 $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что $BC = DC$.

Рис. 8.8

Для того чтобы доказать, что $BC = DC$, рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Проанализируем данные из условия задачи:

1. Сторона $AB$ равна стороне $AD$, то есть $AB = AD$. Это указано в условии и отмечено на рисунке одинаковыми штрихами.

2. Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$. Это также дано в условии и отмечено на рисунке одинаковыми дугами.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Мы видим, что две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle ADC$).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В данном случае сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует стороне $DC$ треугольника $\triangle ADC$, так как они лежат напротив равных углов ($\angle BAC$ и $\angle DAC$ соответственно).

Следовательно, $BC = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BC = DC$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ по первому признаку.

8.11. На сторонах угла AOB отложены равные отрезки OC и OD (рис. 8.9). Произвольная точка E биссектрисы этого угла соединена с точками C и D. Докажите, что $EC = ED$.

Рис. 8.9

Рис. 8.10

Дано:

Угол $AOB$.

$OE$ — биссектриса угла $AOB$.

Точка $C$ лежит на стороне $OA$, точка $D$ — на стороне $OB$.

Отрезки $OC$ и $OD$ равны, то есть $OC = OD$.

$E$ — произвольная точка на биссектрисе $OE$.

Доказать:

$EC = ED$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle OEC$ и $\triangle OED$.

В этих треугольниках:

1. $OC = OD$ по условию задачи.

2. Сторона $OE$ является общей для обоих треугольников.

3. Угол $\angle COE$ равен углу $\angle DOE$, так как $OE$ является биссектрисой угла $AOB$ по условию, а биссектриса делит угол на два равных угла.

Таким образом, треугольник $\triangle OEC$ равен треугольнику $\triangle OED$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные стороны равны. Сторона $EC$ треугольника $\triangle OEC$ соответствует стороне $ED$ треугольника $\triangle OED$.

Следовательно, $EC = ED$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $EC = ED$ доказано.

8.12. На рисунке 8.10 $AO = OB$ и $DO = OC$. Докажите равенство отрезков $AD$ и $BC$.

Рис. 8.10

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $BC$ рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

1. Сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OB$ треугольника $\triangle BOC$ по условию задачи ($AO = OB$).

2. Сторона $DO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OC$ треугольника $\triangle BOC$ по условию задачи ($DO = OC$).

3. Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOC$ ($\angle AOD = \angle BOC$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AC$ и $BD$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOD$ равен треугольнику $\triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, их соответствующие стороны также равны. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle AOD$ является соответствующей стороне $BC$ в треугольнике $\triangle BOC$. Следовательно, $AD = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AD$ и $BC$ доказано.

8.13. На рисунке 8.11 $\angle A$ равен $\angle B$, $AD = BC$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 8.11

Для доказательства равенства отрезков $AC$ и $BD$ рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$.

Сравним эти треугольники по известным из условия данным:
1. Сторона $AD$ равна стороне $BC$ ($AD = BC$).
2. Угол при вершине $A$ в $\triangle DAB$ равен углу при вершине $B$ в $\triangle CBA$ ($\angle DAB = \angle CBA$).
3. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle DAB$ равен треугольнику $\triangle CBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Стороны $AC$ и $BD$ являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle CBA$ и $\triangle DAB$ (они лежат напротив равных углов $\angle CBA$ и $\angle DAB$ соответственно). Следовательно, $AC = BD$.

Ответ: Равенство $AC = BD$ доказано.

8.14. Три деревни $A$, $B$, $C$ расположены так, что деревня $B$ находится в 15 км к югу от $A$, а деревня $C$ — в 7 км к северо-востоку от $B$. Три другие деревни $M$, $N$ и $K$ расположены так, что деревня $N$ находится в 15 км к западу от $M$, а деревня $K$ — в 7 км к северо-западу от $M$. Сравните расстояния между деревнями $A$, $C$ и $N$, $K$.

Для решения задачи мы можем смоделировать расположение деревень как вершины двух треугольников и доказать их равенство. Это позволит нам сравнить искомые расстояния, не вычисляя их точные значения.

1. Расположение деревень A, B, C

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный деревнями A, B и C.
Из условия известно, что деревня B находится в 15 км к югу от A. Следовательно, расстояние между A и B равно 15 км. Это сторона $AB$ треугольника.
$AB = 15$ км.
Деревня C находится в 7 км к северо-востоку от B. Следовательно, расстояние между B и C равно 7 км. Это сторона $BC$ треугольника.
$BC = 7$ км.
Найдём угол $\angle ABC$ между сторонами $AB$ и $BC$. Если смотреть из точки B, направление на A — это север. Направление на C — северо-восток. Угол между направлениями на север и на северо-восток составляет $45^\circ$.
Таким образом, угол в треугольнике $ABC$ при вершине B равен $45^\circ$: $\angle ABC = 45^\circ$.

2. Расположение деревень M, N, K

Рассмотрим треугольник $NMK$, образованный деревнями M, N и K.
Из условия известно, что деревня N находится в 15 км к западу от M. Следовательно, расстояние между M и N равно 15 км. Это сторона $NM$ треугольника.
$NM = 15$ км.
Деревня K находится в 7 км к северо-западу от M. Следовательно, расстояние между M и K равно 7 км. Это сторона $MK$ треугольника.
$MK = 7$ км.
Найдём угол $\angle NMK$ между сторонами $NM$ и $MK$. Если смотреть из точки M, направление на N — это запад. Направление на K — северо-запад. Угол между направлениями на запад и на северо-запад составляет $45^\circ$.
Таким образом, угол в треугольнике $NMK$ при вершине M равен $45^\circ$: $\angle NMK = 45^\circ$.

3. Сравнение расстояний AC и NK

Сравним треугольники $ABC$ и $NMK$.
У них есть две пары соответственно равных сторон:
$AB = NM = 15$ км,
$BC = MK = 7$ км.
Углы между этими сторонами в обоих треугольниках также равны:
$\angle ABC = \angle NMK = 45^\circ$.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABC$ равен треугольнику $NMK$ ($\Delta ABC \cong \Delta NMK$).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ABC$. Сторона $NK$ лежит напротив угла $\angle NMK$. Поскольку $\angle ABC = \angle NMK$, то и противолежащие им стороны равны:
$AC = NK$.

Ответ: Расстояния между деревнями A, C и N, K равны.

8.15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы.

Пусть даны два равных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
Это означает, что их соответствующие стороны и углы равны: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $, а также $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $.

Проведем в этих треугольниках соответствующие медианы, то есть медианы, выходящие из равных углов к равным сторонам. Например, проведем медианы $ BM $ и $ B_1M_1 $ из вершин $ B $ и $ B_1 $ к сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $ соответственно.

Доказательство
Необходимо доказать, что $ BM = B_1M_1 $.
1. По определению медианы, точка $ M $ делит сторону $ AC $ пополам, то есть $ AM = MC = \frac{1}{2}AC $.
2. Аналогично, точка $ M_1 $ делит сторону $ A_1C_1 $ пополам, то есть $ A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1 $.
3. Так как изначальные треугольники равны, то $ AC = A_1C_1 $. Следовательно, равны и их половины: $ AM = A_1M_1 $.
4. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Сравним их элементы:

• $ AB = A_1B_1 $ (как соответствующие стороны равных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).
• $ AM = A_1M_1 $ (по доказанному в п. 3).
• $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответствующие углы равных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).

8.16. На рисунке 8.12 точки $A, B, C$ принадлежат одной прямой. Точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники $ABD_1$ и $ABD_2$ равны, то треугольники $BCD_1$ и $BCD_2$ тоже равны.

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Дано:
Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.
Точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.
$\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$.

Доказать:
$\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

Доказательство.

По условию, $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов. Следовательно, сторона $BD_1$ равна стороне $BD_2$, и угол $\angle ABD_1$ равен углу $\angle ABD_2$.

Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, значит угол, образованный лучами $BA$ и $BC$, является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Углы $\angle ABD_1$ и $\angle CBD_1$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда, $\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1$. Аналогично, углы $\angle ABD_2$ и $\angle CBD_2$ являются смежными, и $\angle CBD_2 = 180^\circ - \angle ABD_2$. Так как из условия мы знаем, что $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$, то и $180^\circ - \angle ABD_1 = 180^\circ - \angle ABD_2$, а значит $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$.

Рассмотрим треугольники $BCD_1$ и $BCD_2$. Сравним их, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
1. $BD_1 = BD_2$ (как соответственные стороны равных треугольников $ABD_1$ и $ABD_2$).
2. $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$ (как смежные с равными углами, что было доказано выше).
3. $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.
Таким образом, все условия первого признака равенства треугольников выполняются, следовательно, $\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $BCD_1$ и $BCD_2$ доказано.