Страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Этот признак также известен как признак «угол-сторона-угол» (УСУ), так как равная сторона находится между двумя равными углами.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно второму признаку, если сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, и углы, прилежащие к этой стороне (то есть углы, концами которых являются концы этой стороны), также соответственно равны, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны.
Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$
$\angle C = \angle C_1$
Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство (методом наложения):
1. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы сторона $A_1C_1$ совпала с равной ей стороной $AC$. При этом вершина $A_1$ совместится с вершиной $A$, а вершина $C_1$ — с вершиной $C$, так как $AC = A_1C_1$.
2. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, то луч $A_1B_1$ пойдет по направлению луча $AB$.
3. Аналогично, так как $\angle C = \angle C_1$, то луч $C_1B_1$ пойдет по направлению луча $CB$.
4. Вершина $B_1$ является точкой пересечения лучей $A_1B_1$ и $C_1B_1$. Вершина $B$ является точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$. Так как лучи совпали, то их точки пересечения также должны совпасть. Следовательно, вершина $B_1$ совместится с вершиной $B$.
5. Таким образом, все три вершины треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ совместятся с соответствующими вершинами треугольника $\triangle ABC$ ($A_1$ с $A$, $C_1$ с $C$, $B_1$ с $B$). Это означает, что треугольники полностью совпали, а значит, они равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

9.1. На рисунке 9.2 угол $1$ равен углу $3$, угол $2$ равен углу $4$. Будут ли треугольники $\triangle CDA$ и $\triangle ABC$ равны?

Рис. 9.2

9.1. Рассмотрим треугольники $CDA$ и $ABC$. Для доказательства их равенства воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников, следовательно, она у них равна.

2. По условию задачи угол 1 равен углу 3. Угол 1 – это угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. Угол 3 – это угол $\angle DCA$ в треугольнике $CDA$. Таким образом, $\angle BAC = \angle DCA$.

3. Также по условию задачи угол 2 равен углу 4. Угол 2 – это угол $\angle DAC$ в треугольнике $CDA$. Угол 4 – это угол $\angle BCA$ в треугольнике $ABC$. Таким образом, $\angle DAC = \angle BCA$.

Мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:

• $\angle DAC = \angle BCA$
• Сторона $AC$ – общая
• $\angle DCA = \angle BAC$

Ответ: Да, треугольники $CDA$ и $ABC$ равны.

9.2. На рисунках 9.3, а, б угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Укажите равные отрезки.

а)

Дано: $ \angle 1 = \angle 2 $ и $ \angle 3 = \angle 4 $.
В данном случае: $ \angle CAD = \angle BCA $ ($ \angle 1 = \angle 2 $) и $ \angle BAC = \angle DCA $ ($ \angle 3 = \angle 4 $).
Рассмотрим треугольники $ \Delta ABC $ и $ \Delta CDA $.
У них общая сторона $ AC $.
По признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \Delta ABC = \Delta CDA $.
Следовательно, равные отрезки: $ AB = CD $ и $ BC = AD $.

б)

Дано: $ \angle 1 = \angle 2 $ и $ \angle 3 = \angle 4 $.
В данном случае: $ \angle CAD = \angle BAC $ ($ \angle 1 = \angle 2 $) и $ \angle ACD = \angle ACB $ ($ \angle 3 = \angle 4 $).
Рассмотрим треугольники $ \Delta ADC $ и $ \Delta ABC $.
У них общая сторона $ AC $.
По признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \Delta ADC = \Delta ABC $.
Следовательно, равные отрезки: $ AD = AB $ и $ DC = BC $.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. В данных треугольниках это означает, что $\angle CAD = \angle ACB$ и $\angle BAC = \angle ACD$.
У этих треугольников:
1. $\angle BAC = \angle ACD$ (так как $\angle 3 = \angle 4$ по условию).
2. $\angle ACB = \angle CAD$ (так как $\angle 2 = \angle 1$ по условию).
3. Сторона $AC$ является общей.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CD$ и $BC = DA$.
Ответ: $AB = CD$, $BC = DA$.

б)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. В данных треугольниках это означает, что $\angle DAC = \angle BAC$ и $\angle DCA = \angle BCA$.
У этих треугольников:
1. $\angle BAC = \angle DAC$ (так как $\angle 2 = \angle 1$ по условию).
2. $\angle BCA = \angle DCA$ (так как $\angle 4 = \angle 3$ по условию).
3. Сторона $AC$ является общей.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.
Ответ: $AB = AD$, $BC = DC$.