Страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.3. На рисунке 8.3 $KL = NM = 4$ см, угол 1 равен углу 2, $KM = 3$ см. Найдите $LN$.

Для решения задачи рассмотрим два треугольника: $ \triangle KLM $ и $ \triangle NML $.

Проанализируем данные из условия задачи:

1. Стороны $KL$ и $NM$ равны: $KL = NM = 4$ см.

2. Угол 1 равен углу 2. Из стандартного обозначения на подобных чертежах следует, что угол 1 — это $ \angle KLM $, а угол 2 — это $ \angle NML $. Таким образом, $ \angle KLM = \angle NML $.

3. Сторона $LM$ является общей для обоих треугольников, значит, $LM$ в $ \triangle KLM $ равна $ML$ в $ \triangle NML $.

Мы видим, что две стороны и угол между ними в треугольнике $ \triangle KLM $ ($KL$, $LM$ и $ \angle KLM $) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ \triangle NML $ ($NM$, $ML$ и $ \angle NML $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), эти треугольники равны:

$ \triangle KLM \cong \triangle NML $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В данном случае сторона $KM$ из $ \triangle KLM $ соответствует стороне $LN$ из $ \triangle NML $ (они лежат напротив равных углов $ \angle KLM $ и $ \angle NML $ соответственно).

Следовательно, $KM = LN$.

По условию задачи дано, что $KM = 3$ см.

Отсюда получаем, что $LN = 3$ см.

Ответ: 3 см.

8.4. Равны ли треугольники $ABH$ и $CBH$, изображенные на рисунке

8.4, если $BH \perp AC$ и $AH = CH$?

Рис. 8.4

Рис. 8.5

Для того чтобы определить, равны ли треугольники $ABH$ и $CBH$, сравним их по известным признакам равенства треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

1. Сторона $AH$ равна стороне $CH$ по условию задачи ($AH = CH$).

2. Сторона $BH$ является общей для обоих треугольников.

3. По условию, $BH \perp AC$ (отрезок $BH$ перпендикулярен отрезку $AC$). Это означает, что углы, образованные при пересечении этих отрезков, являются прямыми, то есть $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ABH$ (стороны $AH$, $BH$ и угол $\angle BHA$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $CBH$ (стороны $CH$, $BH$ и угол $\angle BHC$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABH$ равен треугольнику $CBH$.

Ответ: Да, треугольники $ABH$ и $CBH$ равны.

8.5. На рисунке 8.4 BH перпендикулярна AC и $AH = CH = 2$ см, $AB = 5$ см. Найдите BC.

Рис. 8.4

По условию задачи, отрезок $BH$ перпендикулярен стороне $AC$, следовательно, $BH$ является высотой треугольника $ABC$. Это означает, что углы $\angle AHB$ и $\angle CHB$ являются прямыми, то есть равны $90^\circ$. Таким образом, высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника.

1. У них есть общий катет $BH$.

2. Их вторые катеты равны по условию: $AH = CH = 2$ см.

Так как два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны (по первому признаку равенства прямоугольных треугольников, или по двум сторонам и углу между ними). Значит, $\triangle ABH \cong \triangle CBH$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, гипотенуз: $BC = AB$.

Поскольку по условию $AB = 5$ см, то и $BC = 5$ см.

Также можно отметить, что так как $BH$ является высотой, а точка $H$ делит сторону $AC$ пополам ($AH = CH$), то $BH$ является также и медианой. Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник — равнобедренный. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, а его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.

Ответ: 5 см.

8.6. На рисунке 8.5 отмечены равные отрезки и равные углы $ABC$ и $DBE$. Выпишите равные треугольники.

Рис. 8.5

Для того чтобы найти равные треугольники, рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBD$.

Проанализируем данные с рисунка:
1. Сторона $AB$ равна стороне $BE$ ($AB=BE$), так как на рисунке они отмечены одной черточкой.
2. Сторона $BC$ равна стороне $BD$ ($BC=BD$), так как они отмечены двумя черточками.

Также на рисунке отмечено равенство углов $\angle ABD$ и $\angle EBC$ (они выделены одинаковыми дугами).

Рассмотрим угол $\angle ABC$. Его можно представить как сумму двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$.
Аналогично, угол $\angle EBD$ можно представить как сумму углов: $\angle EBD = \angle EBC + \angle DBC$.

Поскольку из отметок на рисунке следует, что $\angle ABD = \angle EBC$, мы можем прибавить к обеим частям этого равенства величину угла $\angle DBC$.
$\angle ABD + \angle DBC = \angle EBC + \angle DBC$
Из этого следует, что $\angle ABC = \angle EBD$.

Теперь мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) для треугольников $ABC$ и $EBD$:
• Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна стороне $BE$ треугольника $EBD$.
• Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна стороне $BD$ треугольника $EBD$.
• Угол $\angle ABC$ (между сторонами $AB$ и $BC$) равен углу $\angle EBD$ (между сторонами $BE$ и $BD$).

Таким образом, треугольники $ABC$ и $EBD$ равны.

Ответ: $\triangle ABC = \triangle EBD$.

8.7. На рисунке 8.6 точка $P$ — середина отрезков $EF$ и $GH$. Есть ли на этом рисунке равные треугольники?

Рис. 8.6

Да, на рисунке есть равные треугольники. Чтобы это доказать, воспользуемся данными из условия задачи.

По условию задачи, точка $P$ является серединой отрезков $EF$ и $GH$. Это означает, что она делит каждый из этих отрезков на две равные части:

1. $EP = PF$ (так как $P$ — середина $EF$)

2. $GP = PH$ (так как $P$ — середина $GH$)

Рассмотрим треугольники $ΔGPE$ и $ΔHPF$. В этих треугольниках:

• Сторона $EP$ треугольника $ΔGPE$ равна стороне $PF$ треугольника $ΔHPF$.

• Сторона $GP$ треугольника $ΔGPE$ равна стороне $PH$ треугольника $ΔHPF$.

• Угол $∠GPE$ равен углу $∠HPF$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $EF$ и $GH$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ΔGPE$ равен треугольнику $ΔHPF$.

Аналогично можно доказать равенство другой пары треугольников: $ΔGPF$ и $ΔHPE$. В этих треугольниках:

• Сторона $GP$ треугольника $ΔGPF$ равна стороне $PH$ треугольника $ΔHPE$.

• Сторона $PF$ треугольника $ΔGPF$ равна стороне $PE$ треугольника $ΔHPE$.

• Угол $∠GPF$ равен углу $∠HPE$, так как они также являются вертикальными углами.

Следовательно, по тому же первому признаку равенства треугольников, $ΔGPF = ΔHPE$.

Ответ: Да, на данном рисунке есть равные треугольники. Равными являются пары треугольников $ΔGPE$ и $ΔHPF$, а также $ΔGPF$ и $ΔHPE$.

8.8. На рисунке 8.7 $AB = AC, AE = AD$. Докажите, что $BD = CE$.

Рис. 8.7

Рис. 8.8

Рис. 8.7

Дано:
$AB = AC$
$AE = AD$

Доказать:
$BD = CE$

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.
1. $AB = AC$ (по условию).
2. $AD = AE$ (по условию).
3. $\angle BAD$ (или $\angle A$) — общий угол для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Сторона $BD$ в $\triangle ABD$ соответствует стороне $CE$ в $\triangle ACE$.
Таким образом, $BD = CE$.

Ответ: Равенство $BD = CE$ доказано.

Рис. 8.8

Текст задачи 8.8 относится к рисунку 8.7. Для рисунка 8.8, по-видимому, предполагается другая задача, условия которой можно определить по графическим обозначениям на нем. Исходя из этих обозначений, решим следующую задачу.

Дано:
$AD = AB$
$\angle DAC = \angle BAC$

Доказать:
$CD = CB$

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.
1. $AD = AB$ (по условию, отмечено на рисунке).
2. $\angle DAC = \angle BAC$ (по условию, отмечено на рисунке).
3. $AC$ — общая сторона.
Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. Сторона $CD$ в $\triangle ADC$ соответствует стороне $CB$ в $\triangle ABC$.
Таким образом, $CD = CB$.

Ответ: Равенство $CD = CB$ доказано.