Страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.19. Докажите, что если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся аксиомой принадлежности точек прямой и плоскости (аксиомой Паша), которая рассматривает разделение плоскости прямой.

Пусть дан треугольник $ABC$ и прямая $l$. По условию задачи, прямая $l$ не проходит ни через одну из вершин треугольника ($A$, $B$, $C$), но пересекает одну из его сторон. Без ограничения общности, предположим, что прямая $l$ пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $M$, которая лежит между точками $A$ и $B$.

Любая прямая, в том числе и прямая $l$, делит плоскость на две открытые полуплоскости. Обозначим их $H_1$ и $H_2$. Согласно свойству разделения плоскости, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает прямую. Если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.

Поскольку прямая $l$ пересекает отрезок $AB$, его концы (вершины $A$ и $B$) должны лежать в разных полуплоскостях относительно прямой $l$. Пусть вершина $A$ лежит в полуплоскости $H_1$ (запишем это как $A \in H_1$), а вершина $B$ — в полуплоскости $H_2$ ($B \in H_2$).

Теперь рассмотрим положение третьей вершины треугольника, точки $C$. По условию, прямая $l$ не проходит через вершину $C$, значит, точка $C$ не может лежать на прямой $l$. Следовательно, вершина $C$ должна находиться либо в полуплоскости $H_1$, либо в полуплоскости $H_2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай 1: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $A$.
В этом случае $C \in H_1$. Так как точки $A$ и $C$ находятся в одной полуплоскости ($H_1$), отрезок $AC$ не пересекает прямую $l$. В то же время точки $B$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях ($B \in H_2$, $C \in H_1$), следовательно, отрезок $BC$ должен пересекать прямую $l$. Таким образом, в этом случае прямая $l$ пересекает сторону $BC$.

2. Случай 2: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $B$.
В этом случае $C \in H_2$. Так как точки $B$ и $C$ находятся в одной полуплоскости ($H_2$), отрезок $BC$ не пересекает прямую $l$. В то же время точки $A$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях ($A \in H_1$, $C \in H_2$), следовательно, отрезок $AC$ должен пересекать прямую $l$. Таким образом, в этом случае прямая $l$ пересекает сторону $AC$. На рисунке выше проиллюстрирован именно этот случай: прямая $l$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ и сторону $AC$ в точке $N$.

В обоих возможных и взаимоисключающих случаях прямая $l$ пересекает ровно одну из двух других сторон треугольника (либо $BC$, либо $AC$). Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано. Если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она обязательно пересекает ровно одну из двух других его сторон.

7.20. Сторона и прилежащий к ней угол одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней углу другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

Нет, эти треугольники не обязательно будут равны. Условие, при котором сторона и один прилежащий к ней угол одного треугольника соответственно равны стороне и одному прилежащему к ней углу другого треугольника, не является признаком равенства треугольников.

Для доказательства равенства треугольников необходимо, чтобы выполнялся один из следующих признаков:

• По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства). Для этого нам бы понадобилось равенство еще одной стороны, образующей равный угол.
• По стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства, ASA). Для этого нам бы понадобилось равенство второго угла, прилежащего к данной стороне.
• По трем сторонам (третий признак равенства, SSS).

В условии задачи дано равенство только одной стороны и одного прилежащего угла. Этой информации недостаточно для однозначного определения треугольника и, следовательно, для гарантированного равенства двух таких треугольников.

Пример:

Чтобы продемонстрировать это, можно построить два разных треугольника, удовлетворяющих заданному условию. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$, которые имеют общую сторону $AB$ и общий прилежащий угол $\angle A$.

На рисунке видно, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ имеют общую сторону $AB$ и общий угол $\angle A$. Таким образом, условие задачи для них выполняется. Однако, поскольку точки $C$ и $D$ — это разные точки на луче, выходящем из $A$, то стороны $AC$ и $AD$ не равны. Как следствие, стороны $BC$ и $BD$ также не равны. Поскольку не все соответственные стороны и углы этих треугольников равны, сами треугольники не являются равными.

Ответ: Нет, не обязательно. Равенство одной стороны и одного прилежащего к ней угла не является признаком равенства треугольников.

Как вы думаете, равны ли эти треугольники?

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольников ABC и DEF, участвующих в первом признаке равенства треугольников.

Как вы думаете, равны ли эти треугольники?

Да, можно предположить, что эти треугольники равны. Хотя для окончательного вывода необходимы данные о сторонах и углах (например, в виде чертежа), второй вопрос прямо ссылается на первый признак равенства треугольников. Это является сильной подсказкой, что для рассматриваемых треугольников $ABC$ и $DEF$ выполняются условия этого признака. Первый признак равенства (по двум сторонам и углу между ними) как раз и позволяет установить равенство треугольников на основе равенства трех их элементов.

Ответ: Да, треугольники равны, если для них выполняются условия первого признака равенства треугольников (равенство двух соответственных сторон и угла между ними).

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольников ABC и DEF, участвующих в первом признаке равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников гласит, что треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Для треугольников $ABC$ и $DEF$ равенства элементов, которые должны выполняться согласно этому признаку, следующие:
1. Равенство одной пары сторон, например, $AB = DE$.
2. Равенство второй пары сторон, например, $AC = DF$.
3. Равенство углов, заключенных между этими сторонами: $\angle BAC = \angle EDF$.
При одновременном выполнении этих трех условий можно утверждать, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $DEF$ ($\triangle ABC = \triangle DEF$).

Ответ: $AB = DE$, $AC = DF$, $\angle BAC = \angle EDF$.