Страница 45 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие теоремы называются признаками равенства треугольников?

2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

1. Какие теоремы называются признаками равенства треугольников?
Признаками равенства треугольников называются теоремы, которые устанавливают достаточные условия для того, чтобы два треугольника были признаны равными. Равенство треугольников означает, что их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Признаки позволяют сделать вывод о равенстве всех шести основных элементов (трех сторон и трех углов) двух треугольников на основании равенства лишь некоторых из них (обычно трех). Это значительно упрощает доказательство равенства фигур в геометрических задачах.

Ответ: Признаки равенства треугольников – это теоремы, позволяющие заключить, что два треугольника равны, если у них соответственно равны определенные наборы из трех элементов (например, две стороны и угол между ними).

2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников (также известный как признак "по двум сторонам и углу между ними", или СУС - Сторона-Угол-Сторона) формулируется следующим образом:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для наглядности рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:

Согласно первому признаку, если выполняются следующие условия:
1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (на рисунке отмечены одной красной черточкой).
2. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (на рисунке отмечены двумя синими черточками).
3. Угол $\angle A$, заключенный между сторонами $AB$ и $AC$, равен углу $\angle A_1$, заключенному между сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$ (на рисунке отмечены фиолетовой дугой).
То есть, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$, то можно сделать вывод о равенстве треугольников: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

8.1. Равны ли треугольники, изображенные на рисунке 8.2, если $AB = DE$, $AC = EF$ и угол $A$ равен углу $E$?

Рис. 8.2

Для того чтобы определить, равны ли треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$, воспользуемся признаками равенства треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.

Согласно условию задачи и отметкам на рисунке, нам даны следующие равенства:

1. $AB = DE$ (стороны отмечены одной черточкой).

2. $AC = EF$ (стороны отмечены двумя черточками).

3. $\angle A = \angle E$ (углы отмечены дугами).

Для определения равенства треугольников обратимся к первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Он гласит: если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Проверим, выполняются ли условия этого признака для наших треугольников.

В треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle A$ расположен между сторонами $AB$ и $AC$.

В треугольнике $\triangle DEF$ угол $\angle E$ расположен между сторонами $DE$ и $EF$.

Таким образом, мы имеем равенство двух сторон и угла между ними в обоих треугольниках:

• сторона $AB$ в $\triangle ABC$ равна стороне $DE$ в $\triangle DEF$;
• сторона $AC$ в $\triangle ABC$ равна стороне $EF$ в $\triangle DEF$;
• угол $\angle A$ между сторонами $AB$ и $AC$ равен углу $\angle E$ между сторонами $DE$ и $EF$.

Все условия первого признака равенства треугольников выполняются. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Ответ: Да, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

8.2. Равны ли треугольники KLN и NMK, изображенные на рисунке 8.3, если $KL = NM$, $\angle 1 = \angle 2$?

Рис. 8.3

Для того чтобы определить, равны ли треугольники $KLN$ и $NMK$, сравним их соответствующие элементы на основе данных из условия и рисунка.

Рассмотрим треугольники $\triangle KLN$ и $\triangle NMK$.

1. По условию задачи дано, что сторона $KL$ равна стороне $NM$: $KL = NM$.

2. Также по условию $\angle 1 = \angle 2$. Из рисунка видно, что $\angle 1$ — это угол $\angle MNK$, а $\angle 2$ — это угол $\angle LKN$. Следовательно, $\angle LKN = \angle MNK$.

3. Сторона $KN$ является общей для обоих треугольников, поэтому ее длина в треугольнике $KLN$ равна ее длине в треугольнике $NMK$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в одном треугольнике, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике:

- $KL = NM$ (по условию);

- $\angle LKN = \angle MNK$ (по условию, и этот угол является заключенным между сторонами $KL$ и $KN$ в $\triangle KLN$, и между сторонами $NM$ и $NK$ в $\triangle NMK$);

- $KN$ — общая сторона.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

На основании этого признака делаем вывод, что $\triangle KLN = \triangle NMK$.

Ответ: Да, треугольники $KLN$ и $NMK$ равны.